时，由②有arkam－r＋1203－k
对于1≤k≤5，容易验证仅当k3时，a8，m2，r1或a2，m6，r3时，满足上式
（a，m，
）（8，2，4t＋3）或（2，6，12t＋9）
对于k≥6，由②有6（am＋1）203故am只可能有22，23，24，25，32，33，42，52
容易验证仅当am32，r1时，满足（2）式，∴（a，m，
）（3，2，4t＋3）
综上满足题设条件的三元正整数组（a，m，
）为（2，4，8t），（4，2，4t），（5，2，4t＋1），
（2，2，4t＋1），（2，3，6t＋2），（203，m，（2t＋1）m＋1），（10，2，4t＋2），（8，2，4t＋3），
（2，6，12t＋9），（3，2，4t＋3），其中t为非负整数
五、设Aka表示当前3名中能力最强者能力排名为第a，能力排名为第k的人能够被录用
的不同报名顺序的数目
当a1时，仅当能力第k的人最后一个报名时，才被录用，所以
Ak138！γ1
①
当2≤a≤8时，若ka，a＋1，…，10，则有Aka0；若k1，2，3，…，a－1，则有
13
fAka3C7a1a210aa
8
A1a
②
a2
8
Ak1ak237
③
ak1
A8A9A10Ak11
④
A1A23C71221023837380
再注意到③、④即有
A1A2A3A8A9A10
容易算得13822183637430751576727737866
8
A1A2A32122334682181267330157375077
a4
A1A2A3507770
10
10
A8A9A1033810
10
10
六、令uay1＋by2，vcy3＋dy4，u1ax4＋bx3，v1cx2＋dx1，则
u2≤（ay1＋by2）2＋（ax1－bx2）2a2＋b2－2abx1x2－y1y2
x1x2－y1y2≤a2b2u2
①
2ab
v12≤（cx2＋dx1）2＋（cy2－dy1）2c2＋d2－2cdy1y2－x1x2
y1y2－x1x2≤c2d2v12
②
2cd
①＋②并整理得
u2v12a2b2c2d2
abcdab
cd
同理可得
u12v2a2b2c2d2
abcdab
cd
uv2u1v12
abucdv2abu1cd
ab
cd
ab
abcdu2v2abcdu12v12
abcd
abcd
u2v12u12v22a2b2c2d2
abcdabcd
ab
cd
v12cd
14
f2004年中国数学奥林匹克试题
第一天一、凸四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在凸四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且满足AEBFCGDH1而点A、B、C、D分别在凸四边形E1F1G1H1的边H1E1、E1F1、
EBFCGDHA
F1G1、G1H1上，满足E1F1∥EF，F1G1∥FG，G1H1∥GH，H1E1∥HE已知E1A求F1C的
AH1
CG1
值
二、已给正整数c，设数列x1，x2，…满足x1c，且x
x
－1＋2x
1
2＋1
2，3，…，
其中x表示不大于x的最大整数求数列x
的通项公式三、设M是平面上
个点组成的集合，满足：（1）M中存在7个点是一个凸七边形的7个顶点；（2）对M中任意5个点，若这5个点是一个凸五边形的5个顶点，则此凸五边形内部r