，q，则p，q∈2，3，5，7，11且p≠q，令cpq，则有c∈S，c≠a，c≠b且（a，c）p1，（b，c）q1；若（a，b）d1，取d的最小质因数p，及不整除ab的最小质数q，则p，q∈2，3，5，7，11，令cpq，则有c∈S，c≠a，c≠b且（a，c）≥p1，（b，c）≥p1因此S满足条件（3）以下证明任何满足题设的S的元素数目不大于72首先证明满足题设条件的S至多只能含有一个大于10的质数事实上若p1，p2为大于10的质数，且p1，p2∈S，则由（3）知存在c∈S，使得（p1，c）1，（p2，c）1，从而有p1c，p2c，∴p1p2c，由此可知c≥p1p2100，这与（1）矛盾从而10与100之间的21个质数11，13，17，23，…，97至多只有一个在S中又显然1S设集合T是由不超过100的正整数除去1及大于10的21个质数余下的78个数构成的下面证明T中至少还有7个数不在S中1°若有某一个大于10的质数p在S中，则S中所有各数的最小质因数只可能是2，3，5，7，p中的一个（i）若7p∈S，则2×3×5，22×3×5，2×32×5，7p包含了S中所有各数的最小质因数，因此由条件（2）知2×3×5，22×3×5，2×32×5S；若7pS，则由条件（3）知7，7×7，7×11，7×13S；（ii）若5p∈S，则由（2）知，2×3×7，22×3×7S；若5pS，则由条件（3）知5，5×5，5×7S（iii）3p与2×5×7不同属于S（iv）2×3p与5×7不同属于S当p11或13时，由（i），（ii），（iii），（iv）知分别至少有3个数，2个数，1个数，1个数共至少有7个数不属于S；当p17或19时，由（i），（ii），（iii）知分别至少有4个数，2个数，1个数共至少有7个数不属于S；当p20时，由（i），（ii）知分别至少有4个数，3个数共至少7个数不属于S
10
f2°如果没有大于10的素数属于S，则S中的每个元素的最小质因数只能是2，3，5，7，则如下的7对数中，每对数都不能同时都属于S
（3，2×5×7），（5，2×3×7），（7，2×3×5），（2×3，5×7），（2×5，3×7），（2×7，3×5），（22×7，32×5）事实上，若上述7对数中任何一对数（a，b）都属于S，则由（2）知，存在c∈S，使得（a，c）（b，c）1，这与ab包含了S中每个元素的所有最小质因数矛盾由1°，2°知T中至少还有7个数不属于S，从而满足条件的S的元素个数的最大值为72
三、1°证当
1，2时，λ
33，
当
1时，ta
θ12，∴cosθ132
当
2时，ta
θ1ta
θ22，cosθ111ta
2i（i1，2）令ta
2θ1x，则ta
2θ24x，则
cos1cos223311x114x23331x14x21x14x32x4x25x4x45x4x14x4x65x4x0即5xr