相比较，如果他的能
力超过了前面所有已面试过的人，就录用他；否则就不录用，继续面试下一个，如果前9个都
不录用，那么就录用最后一个面试的人
假定这10个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第1，第2，…，第10显然该
公司到底录用到哪一个人，与这10个人报名的顺序有关大家知道，这样的排列共有10！种，
我们以Ak表示能力第k的人能够被录用的不同报名顺序的数目，以Ak10！表示他被录用的可能性
证明：在该公司经理的方针之下，有
（1）A1A2…A8A9A10；（2）该公司有超过70的可能性录用到能力最强的3个人之一，而只有不超过10的可
能性录用到能力最弱的3个人之一
六、设a，b，c，d为正实数，满足ab＋cd1；点Pi（xi，yi）i1，2，3，4是以原点为圆心的单位圆周上的四个点，求证：
（ay1＋by2＋cy3＋dy4）2＋（ax4＋bx3＋cx2＋dx1）2≤2a2b2c2d2
ab
cd
参考答案
一、∵H是△ABC的垂心，A1是△BHC的外心，∴△BHC180°－∠BAC，∠BA1C2∠BAC
又由题设知AB≠AC，从而A，I，A1共线，即A1在∠BAC平分线上A1在△ABC外接圆上∠BA1C＋∠BAC180°∠BAC60°
现证SBKB2SCKC2∠BAC60°
作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，设BCa，CAb，ACc，则
IDIE2SABCabc
2SAB1B2IDAB1AB2AB1AB2si
A
故IDAB1AB2AB1si
AID
2SABCabc
b2

AB2

b2
2SABCbc
2SABCabc
故AB2

a
bcb
c
同理AC2

a
bcb
c

SBKB2SCKC2SABCSAB2C2
bcbc
bc
abcabc
a2bc2bc
a2b2c2bcBAC60
9
f故A，I，A1共线的充要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等
二、设
2a13a25a37a111a5q，其中q是不被2，3，5，7，11整除的正整数，ai为非负整
数，
≤100，则
∈Sai1≤i≤5中恰有一个或两个为正整数，即S由下列元素组成：不超过100的正偶数中除去2×3×5，22×3×5，2×32×5，2×3×7，22×3×7，2×5×7，
2×3×11等7个偶数后余下的43个偶数；不超过100的正整数中3的奇数倍：确定3，3×3，…，3×33共17个数；不超过100的正整数中与3互质的5的奇数倍：5，5×5，5×7，5×11，5×13，5×17，5
×19共7个数；不超过100的正整数中与15互质的7的奇数倍：7，7×7，7×11，7×13共4个数；质数11现证明以上72个整数构成的集合S满足题设条件显然满足条件（1）；对S中任意两个不同的元素ab则a，b的最小公倍数中不大于11的质因数至多只含有2，
3，5，7，11中的4个，因此存在c∈2，3，5，7，11，使得（a，c）b，c1，且显然c∈S，因此S满足条件（2）；
对S中任意两个没同的元素a，b，若（a，b）1，分别取的a，b最小质因素pr