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与Ai有连线

1
段的点)的集合为Bi,Bi中点的个数记为Bibi,显然bi2l且bi≤
-1i0,1,2,…,
i1

-1
若存在bi
-1时,只须取
l
1
111q1
111qq121
2
2
2
则图中必存在四边形,因此下面只讨论bi
-1i0,1,2,…,
-1的情况
不妨设q+2≤b0≤
-1用反证法若图中不存在四边形,则当i≠j时,Bi与Bj无公共点对,
即Bi∩Bj≤1(0≤ij≤
-1)因此,BiB0bi1i1,2,…,
-1故
7
fVB0中点对的个数C
2b0

1

1

i1
Bi

B0中点对的个数
i
1
C2
Bi
B0

1
i1Cb2i1当bi1或2时令Cb2i10

12

1
bi2
i1
3bi

2

1

1i1bi22
1

1
3bi
i1
2

1

12lb022
1
32l
b0

2

1

12
1
2l

b0




12l

b0

2


2

12
1


1q
1

2

b0



1

1q12b02
2

12
1

q

q

2

b0

q

q




3

b0


-1
-b0
-b0-1≥
q-q+2-b0
q-q-
+3-b0
qq+1
-b0
-b0-1≥
q-q+2-b0
q-q-
+3-b0


q-q-
+3-b0-q
-b0-1q-1b0-
+3≥q-1q+2-
+30②

q-q+2-b0-q1
-b0qb0-q-
+2≥qq+2-q-
+210

由②,③及
-b0q+1,
-b0-1q皆是正整数,得

q-q+2-b0
q-q-
+3-b0qq+1
-b0
-b0-1
而这与所得的①式相矛盾,故原命题成立
2003年中国数学奥林匹克试题
一、设点I,H分别为锐角△ABC的内心和垂心,点B1,C1分别为边AC,AB的中点,已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于点C2,B2C2与BC相交于k,A1为△BHC外心,试证:A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等
二、求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值:(1)S中的每个元素都是不超过100的正整数;(2)对于S中任意两个不同的元素a,b,都存在S中的元素c,使得a与c的最大公约数等于1,并且b与c的最大公约数也等于1;(3)对于S中任意两个不同的元素a,b,都存在S中异于a,b的元素d,使得a与d的最大公约数大于1,并且b与d的最大公约数也大于1三、给定正整数
,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,π2),(i1,2,…,
),只要ta
θ1ta
θ2…ta
θ
2
2,就有cosθ1+cosθ2+…+cosθ
≤λ四、求所有满足a≥2,m≥2的三元正整数组(a,m,
),使得a
+203是am+1的倍数
8
f五、某公司需要录用一名秘书,共有10人报名,公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面
试,前3个人面试后一定不录用,自第4个人开始将他与前面面试过的人r
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