与Ai有连线

1
段的点）的集合为Bi，Bi中点的个数记为Bibi，显然bi2l且bi≤
－1i0，1，2，…，
i1

－1
若存在bi
－1时，只须取
l
1
111q1
111qq121
2
2
2
则图中必存在四边形，因此下面只讨论bi
－1i0，1，2，…，
－1的情况
不妨设q＋2≤b0≤
－1用反证法若图中不存在四边形，则当i≠j时，Bi与Bj无公共点对，
即Bi∩Bj≤1（0≤ij≤
－1）因此，BiB0bi1i1，2，…，
－1故
7
fVB0中点对的个数C
2b0

1

1

i1
Bi

B0中点对的个数
i
1
C2
Bi
B0

1
i1Cb2i1当bi1或2时令Cb2i10

12

1
bi2
i1
3bi

2

1

1i1bi22
1

1
3bi
i1
2

1

12lb022
1
32l
b0

2

1

12
1
2l

b0




12l

b0

2


2

12
1


1q
1

2

b0



1

1q12b02
2

12
1

q

q

2

b0

q

q




3

b0

故
－1
－b0
－b0－1≥
q－q＋2－b0
q－q－
＋3－b0
qq＋1
－b0
－b0－1≥
q－q＋2－b0
q－q－
＋3－b0
①
但
q－q－
＋3－b0－q
－b0－1q－1b0－
＋3≥q－1q＋2－
＋30②
及
q－q＋2－b0－q1
－b0qb0－q－
＋2≥qq＋2－q－
＋210
③
由②，③及
－b0q＋1，
－b0－1q皆是正整数，得

q－q＋2－b0
q－q－
＋3－b0qq＋1
－b0
－b0－1
而这与所得的①式相矛盾，故原命题成立
2003年中国数学奥林匹克试题
一、设点I，H分别为锐角△ABC的内心和垂心，点B1，C1分别为边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于k，A1为△BHC外心，试证：A，I，A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等
二、求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值：（1）S中的每个元素都是不超过100的正整数；（2）对于S中任意两个不同的元素a，b，都存在S中的元素c，使得a与c的最大公约数等于1，并且b与c的最大公约数也等于1；（3）对于S中任意两个不同的元素a，b，都存在S中异于a，b的元素d，使得a与d的最大公约数大于1，并且b与d的最大公约数也大于1三、给定正整数
，求最小的正数λ，使得对任何θi∈（0，π2），（i1，2，…，
），只要ta
θ1ta
θ2…ta
θ
2
2，就有cosθ1＋cosθ2＋…＋cosθ
≤λ四、求所有满足a≥2，m≥2的三元正整数组（a，m，
），使得a
＋203是am＋1的倍数
8
f五、某公司需要录用一名秘书，共有10人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面
试，前3个人面试后一定不录用，自第4个人开始将他与前面面试过的人r