直角坐标系,则有A(a,0)设折叠时,
O上点A′(Rcosα,Rsi
α)与点A重合,而折痕为直线
MN,则MN为线段AA′的中垂线设Px,y为MN上任一点,
则PA′PA故x-Rcosα2+y-Rsi
α2x-a2+y2,即
2Rxcosα+ysi
αR2-a2+2ax,故
5
fxcosysi
R2a22ax
x2y2
2Rx2y2
可得si
R2a22ax其中si
xcosy
2Rx2y2
x2y2
x2y2
故R2a22ax1此不等式也可直接由柯西不等式得到2Rx2y2
xa2平方后可化为2
R2
y2R2a2
1
2
22
xa2即所求点的集合为椭圆2
y2
1外含边界部分
R2R2a2
2
22
加试
一、如图,连结AB,在△ADQ与△ABC中,∠ADQ∠ABC,∠DAQ∠PBC∠CAB,故
△ADQ∽△ABC,而有BCDQ,即BCADABDQABAD
又由切割线关系知△PCA∽△PAD,故PCAC;同理由△PCBPAAD
∽△PBD得BCBCPBBD
又因PAPB,故ACBC,得ACBDBCADABDQADBD
又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知ACBD+BCADABCD
于是得ABCD2ABDQ,故DQ1CD,即CQDQ2
在△CBQ与△ABD中,ADDQCQ,∠BCQ∠BAD,于是ABBCBC
△CBQ∽△ABD,故∠CBQ∠ABD,即得∠DBQ∠ABC∠PAC二、由题设可知
3l104
130l4
3m104
130m4
3
104
130
4
于是3l
3m
3
mod4
3l3l
3m3m
3
mod243
mod54
①②
由于(3,2)(3,5)1,由①可知3l-m≡3m-
≡1mod24现在设u是满足3u≡1mod24的最小正整数,则对任意满足3v≡1mod24的正整数v,我们有uv,即u整除v事实上,若uv,则由带余除法可知,存在非负整数a与b,使得vau
+b,其中0b≤u-1,从而可推出3b≡3bau≡3v≡1mod24,而这显然与u的定义矛盾,所以
6
fuv注意到3≡3mod24,32≡9mod24,33≡27≡11mod24,34≡1mod24从而可设m-
4k,
其中k为正整数同理可由②推出3m-
≡1mod54,故34k≡1mod54现在我们求满足34k≡1mod54的正整数k因为341+5×24,所以34k-1(1+5×24)k-1≡0mod54,即
5k24kk15228kk1k253212
2
6
5k52k3k127kk1k2532110mod543
或k5k3k127kk1k2532110mod533
即有k5t,并代入该式得t+5t3+5t-1×27≡0mod52即有t≡0mod52,即k5t53s,其中s为正整数,故m-
500s,s为正整数同理可证l-
500r,r为正整数由于lm
,所以有rs这样一来,三角形的三个边为500r+
、500s+
和
由于两边之差小于第三边,故
500r-s,因此,当s1,r2,
501时三角形的周长最小,其值为(1000+501)+(500+501)+5013003三、设这
个点的集合VA0,A1,A2,…,A
-1为全集,记Ai的所有邻点(r