上连续，设fx在02上的最大值为M，最小值为m，于是m≤f0≤M，m≤f1≤M，m≤f2≤Mf0f1f2故m≤≤M3f0f1f2由介值定理知，存在c∈02，使fc13因为fc1f3，且fx在c3上连续，在c3内可导，因此由罗耳中值定理知，存在ξ∈c303，使f′ξ0。
第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷三非数学类）第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷三（非数学类）中国大学生数学竞赛模拟试卷
考试形式：考试时间：满分：试卷难度系数：考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分试卷难度系数：06
一、计算题（每小题4分，满分20分）1
iπ1求极限lim2∑isi
。
→∞
i1
2．计算不定积分∫
xdx。1xx
3．设fxta

πx
4
1ta

πx2
4
2Lta

πx100
4
100，求f′1。
xcott4．设cos2t，t∈0π，求此曲线的拐点。ysi
t
1
5．已知极限limeaxbx
x2x→0
x2
1，求常数的值ab。
xx00
二、（满分10分）设f000f′x1，证明：当x0时，∫ftdt2∫f3tdt三、（满分10分）设gx∫xtetdt，求gx的最小值。
2
1
1
四、（满分15分）已知点A100与点B111，Σ是由直线AB绕Oz轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面z
0与z1之间部分的外侧，函数fu在∞∞内具
有连续导数，计算曲面积分
fI∫∫xfxy2xdydzyyfxydzdxz1dxdy。
22Σ
五、（满分10分）设Ft∫l
12tcosxt2dx，证明：
0
π
（1）Ft为偶函数；2）Ft22Ft（六、（满分10分）设f为连续函数，且0≤fx≤1，证明在01上方程2x∫ftdt1
0
x
有唯一解。
a
b
七、（满分15分）求级数∑2xab0的收敛半径和收敛域。
1
八、（满分10分）设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面都有
∞
∫∫xfxdydzxyfxdzdxe
S
x→0
2x
zdxdy0，其中函数fx在0∞内具有连
续的一阶导数，且limfx存在，求fx。
第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷三参考答案第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷三参考答案中国大学生数学竞赛模拟试卷
一、计算题（每小题4分，满分20分）111
iπ1解：lim2∑isi
∫xsi
πxdx0
→∞
π
i1
2解
∫
1
0
xdcosπx1
1
π
xcosπx0∫cosπxdx
10
1
1
π
1
1
1
π
si
πx
0
π
∫
x44dxr