∫d1xx1xxC331xx
3解fxta
100444ππxπx2πx100f′xsec2ta
2Lta
1004444πxπx2πx100ta
1ta
2Lta
100′444
f′1
πx
1ta
πx2
2Lta
πx100
×992dydx4.解:csctcott2cost,csc2tdtdt2dydycost12si
2t,23si
3tcos2tdxdx2dyπ3ππd2yπ3πd2y令20得t1t2,当0t时,20,当t时,20,dx444dx44dx23πdy当tπ时,20,因此拐点为10104dx
4sec24
π
π
12L1100
π
f1
5.解limeaxbxe
x2x2x→0
x→0
limexax2bx1
1x2
e
x→0
lim
ex2axb2x
1
ex2a1于是lime2axb0,b1,由lim0,得ax→0x→022
x
11x2
x
exax2bx1x
2
另解:limeaxbxxlim1eaxbx1e
x2
2
axbx1
2
x→0
x→0
ex0
lim
exax2bx1x2
=1
lim
x0
eaxbx1limx0x211bxax2ox212lim0ab12x0x2
x2xx00x
1x
12xox2ax2bx12x2
二、(满分10分)证明:设Fx∫ftdt2∫f3tdt则F00,F′xfx2∫ftdtfx,
20
由f00且0f′x1,知当x0时,fx0。又设gx2∫ftdtf2x则g00g′x2fx1f′x0,
0x
所以F′x0,从而FxF0不等式得证三、(满分10分)当x1时,gx2x∫etdt,g′x2∫etdt0,解:,故当x≥1时gx
22
1
1
0
0
单调增加;当x1时,gx2x∫edt,g′x2∫edt0故当x≤1时gx单调减
t2t200
1
1
少;当1x1时,gx∫xtetdt∫txetdt
22
x
1
1
x
x∫edt∫tedt∫tetdtx∫etdt,
t2t2
22
x
x
1
1
1
1
2
x
x
g′x∫etdt∫etdt∫etdt。
22
x
1
x
由g′x0得x0。当1x0时,g′x0,当0x1时,g′x0,故x0是gx的极小值点,又g1g12∫etdt2∫dt2
2
1
x
x
1
1
0
0
g02∫tetdtet1e1,故gx的最小值为g0e10
22
1
0
四、(满分15分)解:直线AB的方程为
22
x1x1yz,直线AB绕z轴旋yz011转而成的旋转曲面Σ的方程为xy1z,即xyz1,
2222
记Pxfxy2xQyyfxyRz1,则
22
PQRfxyxyf′xy2,2z1,r