∫d1xx1xxC331xx
3解fxta

100444ππxπx2πx100f′xsec2ta
2Lta
1004444πxπx2πx100ta
1ta
2Lta
100′444
f′1
πx
1ta

πx2
2Lta

πx100
×992dydx4．解：csctcott2cost，csc2tdtdt2dydycost12si
2t，23si
3tcos2tdxdx2dyπ3ππd2yπ3πd2y令20得t1t2，当0t时，20，当t时，20，dx444dx44dx23πdy当tπ时，20，因此拐点为10104dx
4sec24
π
π
12L1100
π
f1
5．解limeaxbxe
x2x2x→0
x→0
limexax2bx1
1x2
e
x→0
lim
ex2axb2x
1
ex2a1于是lime2axb0，b1，由lim0，得ax→0x→022
x
11x2
x
exax2bx1x
2
另解：limeaxbxxlim1eaxbx1e
x2
2
axbx1
2
x→0
x→0
ex0
lim
exax2bx1x2
＝1
lim
x0
eaxbx1limx0x211bxax2ox212lim0ab12x0x2
x2xx00x
1x
12xox2ax2bx12x2
二、（满分10分）证明：设Fx∫ftdt2∫f3tdt则F00，F′xfx2∫ftdtfx，
20
由f00且0f′x1，知当x0时，fx0。又设gx2∫ftdtf2x则g00g′x2fx1f′x0，
0x
所以F′x0，从而FxF0不等式得证三、（满分10分）当x1时，gx2x∫etdt，g′x2∫etdt0，解：，故当x≥1时gx
22
1
1
0
0
单调增加；当x1时，gx2x∫edt，g′x2∫edt0故当x≤1时gx单调减
t2t200
1
1
少；当1x1时，gx∫xtetdt∫txetdt
22
x
1
1
x
x∫edt∫tedt∫tetdtx∫etdt，
t2t2
22
x
x
1
1
1
1
2
x
x
g′x∫etdt∫etdt∫etdt。
22
x
1
x
由g′x0得x0。当1x0时，g′x0，当0x1时，g′x0，故x0是gx的极小值点，又g1g12∫etdt2∫dt2
2
1
x
x
1
1
0
0
g02∫tetdtet1e1，故gx的最小值为g0e10
22
1
0
四、（满分15分）解：直线AB的方程为
22
x1x1yz，直线AB绕z轴旋yz011转而成的旋转曲面Σ的方程为xy1z，即xyz1，
2222
记Pxfxy2xQyyfxyRz1，则
22
PQRfxyxyf′xy2，2z1，r