l
即Iπl
22
x→0
π
六、（本题满分15分）证明：由lim
fxfxf0limf′0x→0xx再由导数的连续性，存在x0的某邻域I使得f′x0x∈I∴fx↑x∈I，1∴f0，且单调递减并以零为极限
为自然数。
Qlimx→0
∞
fxa0f0）和f′0a00x
1f1fx交错级数∑1
f收敛。再由lima0lim
a0x→0
→∞1
1x
∞∞1∞11∴正项级数∑f与∑同敛散，级数∑f发散。∴
1
1
1
2222七、（本题满分10分）解：方法一（一二型相互转化）球面xyza上任一uur1点处的单位法向量是
0xyzcosαcosβcosγ222xyzxdydzydzdxzdxdycosαdydzcosβdzdxcosγdxdy∫∫∫∫3x2y2z2ΣΣx2y2z2



1a2
∫∫cosαcos
2Σ
2
βcos2γds
1a2
∫∫ds4π
Σ
方法二（高斯公式）将积分区域函数代入被积函数化简得：
I
1a3
∫∫xdydzydzdxzdxdy，记x
Σ
2
y2z2≤a2，
由高斯公式得I
1a3
∫∫∫3dV4π

八、（本题满分15分）解：等式两边同时求导得：
f2x2121xgxgx∫gtdt2∫gtdt02xx0
由于当x∈0∞时gx0，于是∫gtdt0
x0
由
2xx2xgx2xgx∫gtdt∫gtdt0解方程得：002x1222gtdtxgx±xgx1±xgx由于gx连续，所以求导得∫0222、、gx1±gxxgx所以gx1±2xgx2g、x1±2即，所以l
gx1±2l
xC1gxCx1±2gxx
2




Qgx在x0处左连续∴g0存在。故gxCx1±2，C0
第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷五（非数学类）第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷五非数学类）中国大学生数学竞赛模拟试卷
考试形式：考试时间：满分：试卷难度系数：考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分试卷难度系数：045
一、填空题（每小题5分，共25分）
1设fxxx2xx，则fx导数不存在得点为___________。
23


1x2esi
x______________。2lim4x→0x1exx223y2z23∫exyzdxeyzdyeyzdz____________，其中L是圆周
L
y2z2R2，从x轴正向看去，曲线是逆时针方向。x0
4以四个函数e2xe3cos3x4si
3x为解的4阶常系数线性齐次r