发散。
1
1x
xdydzydzdxzdxdy2222七、（本题满分10分）计算∫∫其中Σ是xyza的外3Σx2y2z2
侧。八、（本题满分15分）求出所有在0∞上的正值连续函数gx，使得
221x1xgtdt∫gtdtx0。2∫0x0
f第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷四参考答案第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷四参考答案中国大学生数学竞赛模拟试卷
一填空题（每题4分，共20分）1．282．xcosx4si
x43xearcta
x令arcta
xtta
tet13．解：∫dx∫dta
t∫si
tetdtetsi
tcostC33sect21x221x1earcta
xc。21x2vvvvvvvvvvvv4．解：Qaba与a共线，而a⊥a×b，∴aba⊥a×b，vvvvvabaa×b0。xcx5解：Qlime2c，又由拉格朗日中值定理有fxfx1f′ξ1x→∞xc1∴limfxfx1limf′ξe，e2ce，c。x→∞ξ→∞2二（本题满分10分）解：Qfx与gx互为反函数，∴gfxx由∫
fx0
gtdtx2ex，得gfxf′x2xexx2ex，
f′x2exxex，∴fx∫2exxexdxexxexC，Qf00，c1，∴fxexxex1三、（本题满分10分）
解：Q
x∑
0x
∞
2
1
1


x2

1∞1si
x∑x2
1x
02
1x
x
si
x∫0tdtx∫0tdtx3limx1∴limlim2xx→032x→03x21xel
1xx→01xxx2312x1si
xx1cosx1121limlimlim232x→0x→02x23x2x→03x12


四、（本题满分10分）111d11111解：I∫2
πcosl
dx∫2
πsi
l
x2dx∫2
πsi
l
dxeeedxxxxxx
1令l
ux

∫
2
π
0
si
udu2
∫si
udu4
0
π
1或令tx

∫
1
2
π
e
si
l
tt
令l
tue2
π1dt∫si
l
tdl
t1t2
∫
2
π
0
si
udu4

f五、（本题满分10分）解：令a∫2l
cos2xa2si
2xdx，则10当a≠0时，
0
π
、a∫2
0
π
令tta
x∞2asi
x2at2dxdtcos2xa2si
2x∫01a2t21t2
2

2a∞112a1π∞2∫0t211a2t2dta21arcta
taarcta
at0a1a1
∴a∫、ada∫
πl
a1C由10得Cπl
2a1a1a1∴aπr