∞∞a
b
11a1aa
∑≤∑收敛b
∑2收敛∴∑2收敛
b
1
b
1b
1
1
∞∞11ax时，a
∑绝对收敛∴a
收敛bb
1



b
∑
1∞
∞
1
2


绝对收敛∴b
收敛

a
b
111∴∑2收敛∴收敛域为
bbb
1
111所以，当ab0时，收敛半径R收敛域为；aaa111当b≥a0时，收敛半径R，收敛域为。bbb
八、（满分10分）解：对任意光滑封闭曲面由高斯公式得：
∫∫xfxdydzxyfxdzdxe
S
2x
zdxdy∫∫∫xf、xfxxfxe2xdV由
0x0恒成立
V
题意得xf
、
、
xfxxfxe
2x
12xe2xCex1∴fx1fxe解得fxxxx2xxeCe2xx由limfx存在得：lim存在∴limeCe0∴C1x→0x→0x→0x2xxee∴fxx
f第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷四非数学类）第三届中国大学生数学竞赛模拟试卷四（非数学类）中国大学生数学竞赛模拟试卷
考试形式：考试时间：满分：试卷难度系数：考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分试卷难度系数：045
一填空题（每题4分，共20分）1．设当x→0时，1cosxl
1x2是比xsi
x
高阶的无穷小，而xsi
x
是比ex1高阶的无穷小，则正整数
等于。dy2．设ysi
2x4，则。dx3xearcta
x3．不定积分∫dx____________。3221xvvvvv4．abaa×b。xcx5设fx在∞∞内可导，且limf′xe，limlimfxfx1，则cx→∞x→∞xcx→∞的值为___________。二（本题满分10分）设fx在0∞上可导，f00，且其反函数为gx，若
2
∫
fx0
gtdtx2ex，求fx。
三、（本题满分10分）已知
x
x∑
0
2
∞
2
1
1


x2
，
计算lim
x→0

3
1xel
1x
x
1
∫tdtx
0


。
四、（本题满分10分）计算I∫
π
e2
π
d1cosl
dx，其中
为自然数。dxx
五、（本题满分10分）求I∫2l
cos2xa2si
2xdxa0。
0
六、（本题满分15分）设函数fx在∞∞上有定义，在x0的某个邻域内有一阶连续导数，且limx→0
∞∞fx11a0，证明∑1
f收敛，而∑fr