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围;(2)在(1)的条件下,四边形BQPC的面积能否为△ABC面积的若能,求出相应的t值;若不能,说明理由;(3)伴随点P、Q的运动,设线段PQ的垂直平分线为l,当l经过点B时,求t的值.
13?153565
第3题图
f解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=
AB2BC23242=5;
如解图①,过点P作PH⊥AB于点H,AP=t,AQ=3t,
第3题解图①则∠AHP=∠ABC=90°,∵∠PAH=∠CAB,∴△AHP∽△ABC,∴
APPH,ACBC
∵AP=t,AC=5,BC=4,∴PH=t,∴S△APQ=(3t)t,即S=t2+t,t的取值范围是:0<t<3.(2)在(1)的条件下,四边形BQPC的面积能为△ABC面积的由如下:依题意得:t2+t
2565
21264×3×4,即t2+t.152555
45
12
45
25
65
13.理15
整理,得(t1)(t2)=0,解得t1=1,t2=2,又0<t<3,
f∴当t=1或t=2时,四边形BQPC的面积能为△ABC面积的(3)①如解图②,当点Q从B向A运动时l经过点B,
13;15
第3题解图②BQ=BP=AP=t,∠QBP=∠QAP,∵∠QBP+∠PBC=90°,∠QAP+∠PCB=90°∴∠PBC=∠PCB,∴CP=BP=AP=t∴CP=AP=AC=×5=25,∴t=25;②如解图③,当点Q从A向B运动时l经过点B,
1212
第3题解图③BP=BQ=3(t3)=6t,AP=t,PC=5t,过点P作PG⊥CB于点G,则PGAB,∴△PGC∽△ABC,∴
PCPGGC,ACABBC
∴PG=
PC3AB=(5t),AC5
fCG=
PC4BC=(5t),AC54545
∴BG=45t)=t,由勾股定理得BP2=BG2+PG2,即(6t)2=(t)2+(5t)2,解得t=
45.144535
综上所述,伴随点P、Q的运动,线段PQ的垂直平分线为l,经过点B时,t的值是25或
45.14
4如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE,点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为1cms;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为2cms,当点P运动到点E停止运动,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ⊥AB?(2)当点Q在BE之间运动时,设五边形PQBCD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t,使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE:S五边形PQBCD=1:29?若存在,求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在,请说明理由.
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解:(1)如解图①,在Rt△ABC中,
第4题解图AC=6,BC=8,∴AB=6282=10.r
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