又OP
POB，所以
ACAB。OBOP
9AC，AB2r，OBr（r为圆O的半径），代入可求得22OP3rACr3
在RtPOB中，由勾股定理可求得PBOP2OB222r。所以
PB22r32。2ACr3
2
三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程xx10的一个根，若正整数abm使得等式atmbtm31m成立，求ab的值。
解：因为t是一元二次方程xx10的一个根，显然t是无理数，且t1t。
22
等式atmbtm31m即abtmabtm31m，
22
f22即ab1tmabtm31m，即mababtabm31m0


因为abm是正整数，t是无理数，所以
2
ab31mmabab0于是可得22ab31mmabm31m0
2
因此，ab是关于x的一元二次方程xm31x31mm0的两个整数根，该方程的判别式m31431mm
2

2
31m315m0
315
又因为ab是正整数，所以ab31m0，从而可得0m
又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m6符合要求。把m6代入可得ab31mm150
2
第二试（B）一、（本题满分20分）已知t21，若正整数abm使得等式atmbtm17m成立，求ab的值。解：因为t21，所以t322
2
等式atmbtm17m即abtmabtm17m
22
即ab322mab



21m217m，

2整理得mab2ab23abmabm17m0
于是可得
ab217m2ab17mm
ab是关于x的一元二次方程x22m17x17mm20○因此，1的两个整数根，
方程○1的判别式4m17417mm
2

2
417m172m0
172
又因为abm是正整数，所以ab217m0，从而可得0m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m8符合要求，把m8代入得ab17mm72。
2
二、（本题满分25分）在ABC中，ABAC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足ABAC2OI。求证：
f（1）OI∥BC；（2）SAOCSAOB2SAOI。
证明（1）作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。设BCa，ACb，ABc。易求得CM
111a，CNabc，所以MNr