2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1计算432241242（B）（A）21（B）1（C）22满足等式2m
m2m2
（D）2
1的所有实数m的和为（A）
（A）3（B）4（C）5（D）6
ABC的平分线交圆O于点D，CAB15，3已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，
若CD3，则AB（A）（A）2（B）6（C）22（D）3
4不定方程3x27xy2x5y170的全部正整数角（xy）的组数为（B）（A）1（B）2（C）3（D）45矩形ABCD的边长AD3，AB2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN（C）（A）
357
（B）
5514
（C）
9528
（D）
11528
6设
为正整数，若不超过
的正整数中质数的个数等于合个数，则称
为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B）（A）33（B）34（C）2013（D）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知实数xyz满足xy4z1xy2y9则x2y3z4
2将一个正方体的表面都染成红色，再切割成
3
2个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则
8
3在ABC中，A60C75AB10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为
56
222
4如果实数xyz满足xyzxyyzzx8，用A表示xyyzzx的最大值，则A的最大值为
463
第二试（A）
f2222一、（本题满分20分）已知实数abcd满足2a3c2b3dadbc6求2
a
2
b2c2d2的值。
2222
解：设ma2b2
c2d2，则2m3
2a2b3c3d12
2因为2m3
2m3
24m
24m
，即1224m
，所以
22
m
6
○1
22又因为m
ab

c
2
d2a2c2b2d2a2d2b2c2
○2
22由○1，○2可得m
6即ab

c
2
d26
注：符合条件的实数abcd存在且不唯一，a
2b1c
623就是一组。d33
二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若OP
PB9AC，求的值。AC2
解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC∠POB。又因为OAOC，所以∠OCA∠OAC。又因为∠COB∠OCA∠OAC，所以2∠POB2∠OAC，所以∠POB∠OAC，所以OP∥AC。又∠POB∠OAC，所以BACr