2013年全国初中数学联合竞赛试题
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1计算432241242（）（A）21（B）1（C）2（D）2
2满足等式2mm2m21的所有实数m的和为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CAB15，ABC的平分线交圆O于点D，若CD3，则AB（）（A）2（B）6（C）22（D）3
4不定方程3x27xy2x5y170的全部正整数角（xy）的组数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
5矩形ABCD的边长AD3，AB2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN（）
（A）35（B）55（C）95（D）115
7
14
28
28
6设
为正整数，若不超过
的正整数中质数的个数等于合个数，则称
为“好数”，那么，所有“好数”之和为（）（A）33（B）34（C）2013（D）2014
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1已知实数xyz满足xy4z1xy2y9则x2y3z
2将一个正方体的表面都染成红色，再切割成
3
2个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则
3在ABC中，A60C75AB10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF
的周长最小值为
f4如果实数xyz满足x2y2z2xyyzzx8，用A表示xyyzzx的
最大值，则A的最大值为第二试（A）
一、（本题满分20分）已知实数abcd满足2a23c22b23d2adbc26求
a2b2c2d2的值。
二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交
于点P，连AC，若OP9AC，求PB的值。
2
AC
三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x2x10的一个根，若正整数abm使得
等式atmbtm31m成立，求ab的值。
f第二试（B）
一、（本题满分20分）已知t21，若正整数abm使得等式atmbtm17m
成立，求ab的值。
二、（本题满分25分）在ABC中，ABAC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足
ABAC2OI。求证：（1）OI∥BC；
（2）SAOCSAOB2SAOI。
三、（本题满分25分）若正数abc满足

b2
c22bc
a2
2



c2
a22ca
b2
2



a2
b22ab
c2
2


3，
求代数式b2c2a2c2a2b2a2b2c2的值。
2bc
2ca
2ab
f2013年全国初中数学联合竞赛试题解析
第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1计算432241242（B）（A）21（B）1（C）2（D）2
2满足等式2mm2m21的所有实数m的和为（A）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CAB15，ABC的平分r