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999年河北省竞赛题)
【10】如图,在□ABCD中,以AC为边长在两侧各作一个正△ACP、△ACQ。试证BPDQ为平行四边形。四边形(竞赛),第10页
f【11】如图,矩形ABCD、BFDE中,ABBF。求证:CF⊥MN。【12】在□ABCD中,BC2AB,M为AD的中点,CE⊥AB于E。求证:∠DME3∠MEA。【13】P为四边形ABCD的两边AD、BC的延长线的交点,过P作线段EF,使PEPF。求证:不论EF的长度与位置如何变化,线段AE、BF的中点连线恒经过某一定点。
四边形(竞赛),第11页
f【14】如图,在等腰△ABC中,ABAC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,恰有ADBCCEDE。求证:∠BAC100°。(2001年北京市数学竞赛试题)
第三节梯形的判定和中位线定理【知识点拨】1、梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形。2、等腰梯形的性质与判定
性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等。判定定理:在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。3、梯形中位线定理:梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半。对于梯形的问题,往往是通过作辅助线,将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题来解决。常用的辅助线如下:
四边形(竞赛),第12页
f【赛题精选】【例1】已知E、F、G分别是AB、BC、CA的中点,AD⊥BC于D。求证:四边形EFDG是等腰梯形。
【说明】一组对边平行的四边形可能是梯形,还可能是平行四边形!因此,要证明一个四边形是梯形,必须证这个四边形的另一组对边不平行,证明一组对边不平行的方法有:(1)证明四边形的一组对边平行且不相等,则这个四边形不是平行四边形,因而另一组对边不平行;(2)利用经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,而经过这点的其它直线与这条直线不平行进行证明。【例2】已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4,求此梯形的面积。(2000年全国联赛试题)
【例3】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,ABDC,AC⊥BD于E,BDBC。求证:2CEADBC。
【说明】以上介绍的几种辅助线要知道,还应通过做题总结出何时作何种辅助线。如本题在结论中有两底的和或题设中有关于对角线的条件,辅助线常作对角线的平行线。【例4】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B30°,∠C60°,E、M、F、N分别是AB、BC、CD、AD的中点,已
四边形(竞赛),第13页
f知BC7,MN3,求EF的值。(1997年全国联赛试题)
【说明】对于涉及梯形的两底角互余问题,常将其转化为直角三角形问题。本题有辅助线还可过点N分别作AB、AC的平行线,证MN1(BCAD)即可。
2【例5】在等腰梯形ABCD中,CD∥ABr
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