，对角线AC、BD相交于O，∠ACD60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。（1）求证：△PQS是等边三角形。（2）若AB5，CD3，求△PQS的面积。（3）若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8，求梯形上下底的比CD：AB？（1999年“希望杯”邀请赛试题）
【例6】分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE、CBFG，点P是EF的中点。求证点P到边AB的距离是AB的一半。（1996年山东省竞赛题）
【说明】本题构造梯形及梯形中位线，并通过线段的代换，使问题获得解决！【例7】已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形连长的平方和的最小值。（2000年全国初中联赛题）
四边形（竞赛），第14页
f【针对训练】
【1】以线段a16，b13，c10，d6为边，且使a∥c作四边形，这样的四边形（）（1984年全国联赛试题）
A、能作一个B、能做两个C、能作三个D、能作无数多个E、不能做
【2】在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，△DEC的面积为S，则ABCD的面积是（竞赛题）
）（1997年重庆市
A、5S2
B、2S
C、7S4
D、9S4
【3】梯形的两条对角线分别为15和20，高为12，则上、下底之和是（）
A、25B、16C、9D、125
【4】如图，四边形你ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC90°，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（）（1996年“希望杯”邀请赛试题）
A、1cmB、15cmC、2cmD、25cm
【5】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，ADBC，AB10，CD4，延长BD到E，使DEBD，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF。（1998年山东省竞赛题）
四边形（竞赛），第15页
f【6】在梯形ABCD中，AB∥DC，AB8，BC62，∠BCD45°，∠BAD120°，则梯形ABCD的面积等于年全国竞赛试题）
。（2000
【7】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD60°，设E是CG的中点，F是AB的中点，则EF的长度为。（1994年“希望杯”邀请赛试题）
【8】梯形ABCD中，AB∥CD，中位线MN与对角线AC、BD分别交于点P、Q，设梯形ABCD的周长为l，四边形PQCD的周长为l1，若AB2CD，则l1：l。（1996年山东省竞赛题）
四边形（竞赛），第16页
f【9】在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中点，ED∥BC交AC于D，DF∥CE交BC的延长线于F。求证：四边形BEDF是等腰梯形。
【10】梯形ABCD中，AB∥CD，∠A90°，AB4，CD3，BC7，O为AD边上的中点，求O到BC的距离。（河北省初中竞赛题）
【11】在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD90°，BC2CD，E是BC的中点，连接AE。r