则有：
AE0
AF0，
C
y
1λ0λ22∴，11λ012
A
x
图
B
uuurrruuurAB
26∴
121，又AB010，所以点B到截面AEC1F的距离为uuur．r3AB
1×6
13．1；解：如图建立空间直角坐标系，
1DB＝（1，1，0），DF＝（0，，1）DA1＝（1，0，1），2
设平面DBEF的法向量为
＝（x，y，z），则有：

DB0
DF0
令x＝1y－1z
即
x＋y＝0
1y＋z＝0211取
＝（1，－1，），则A1到平面22
D1zFEB1DAxzD1A1EB1C1BCyC1
DBEF的距离h

DA1

1
A1
1014．解：如图建立空间直角坐标系，AB＝（0，1，，0）51AD1＝（－1，0，1）AE＝（0，，1），2
设平面ABC1D1的法向量为
＝（x，y，z）
D
10
CBy
Ax
f高二同步训练题
由

AB0可解得
＝（1，0，1）

AD10
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则si
θ
AE
AE


10，5
三、15．解：如图建立空间直角坐标系，A1C1＝（－1，0）A1B1，，＝（0，1，－1）设
1、
2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由D1A1可解得
1＝（1，1，1）DAx＝BB1CyzC1

1A1B0
1A1C10
易知
2＝（0，0，1），所以，cos
1
2

1
2
1
2
3333或π－arccos．33
zD1A1FDxABMCEB1yC1
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则A1C1＝（－1，1，0）B1C＝（－1，0，－1），
A1D＝（1，0，1），
设A1EλA1C1，A1F
B1A＝（0，－1，－1）
A1D，B1MνB1A（λ、、
ν∈R，且均不为0）
11
f高二同步训练题
设
1、
2分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由

1A1E0
1A1F0
可得

1λA1C10
即

1A1C10
1A1D0

1A1D0
解得：
1＝（1，1，－1）由

2B1M0
2B1C0
可得

2νB1A0
即

2B1A0
2B1C0

2B1C0
解得
2＝（－1，1，－1），所以
1＝－
2，所以平面A1EF∥平面B1MC．

1∥
2，
注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用
1⊥

2
1
20来证明．
17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0）（0，2a，0），．∵PA⊥平面ABCD，∠r