PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA30°．于是，在Rt△AED中，由AD2a，得AEa．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AEa，∠EAF60°，得AF
313a，EFa，∴E（0，aa）2222
于是，AE
130aaCD－a，a，022
设AE与CD的夹角为θ，则由
AECDcosθAECD
130aaaa0222413202a2aa2a20222
12
f高二同步训练题
AE与CD所成角的余弦值为
2．4
评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系Dxyz则知B（1，1，0）E11F0，
12
112
设
xyz是平面BDEF的法向量
1由
⊥DB
⊥DFDB110DF012
DBxy0xy得则11
DFyz0z2y2
令y1得
11．设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．
13QA1D101∴AD
110×1122
13又QA1D12O2122
12122223A1D
2∴cosA1DA1H232A1D×
2×22∴A1HA1D×cosA1DA1H2×12
12
即点A1到平面BDFE的距离为1．（3）由（2）知，A1H1，又A1D2，则△A1HD为等腰直角三角形，
∠A1DH∠DA1H45o
QA1H⊥平面BDFEHD是A1D在平面BDFE上的射影∴∠A1DH就是直线A1D与平面BDFE所成的角∴∠A1DH45o19．解：建立坐标系如图，则A200、B220，C020，zD1
13
C1
A1
B1
f高二同步训练题
uuuurA1202，B1222，D1002，E210，A1C222，uuuuruuuruuuurD1E212，AB020，BB1002．
uuuur（Ⅰ）不难证明A1C为平面BC1D的法向量，uuuuruuuuuuuurrA1C∵cosA1CD1EuuuurA1CuuuurD1E3uuuur9D1E
∴D1E与平面BC1D所成的角的大小为
πarccos3（即arcsi
3）．299
uuuuuuurr（Ⅱ）A1C、AB分别为平面BC1D、BC1C的法向量，uuuuruuuuuuurrA1C∵cosA1CABuuuurA1CuuurAB3，∴二面角D－BC－C的大小为arccos3．uuur133AB
uuuuuuuurrA1CBB123（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1与BC1之间的距离为duuuu．r3A1C
20．证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．1分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则Ar