的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．
2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
等差数列的判断与证明
典题导入例1在数列a
中，a1＝－3，a
＝2a
－1＋2
＋3
≥2，且
∈N．1求a2，a3的值；2设b
＝a
2＋
3
∈N，证明：b
是等差数列．自主解答1∵a1＝－3，a
＝2a
－1＋2
＋3
≥2，且
∈N，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝132证明：对于任意
∈N，∵b
＋1－b
＝a
2＋
1＋＋13－a
2＋
3＝2
1＋1a
＋1－2a
－3＝2
1＋12
＋1＋3－3＝1，
a1＋3－3＋3∴数列b
是首项为2＝2＝0，公差为1的等差数列．
由题悟法1．证明a
为等差数列的方法：
f1用定义证明：a
－a
－1＝dd为常数，
≥2a
为等差数列；2用等差中项证明：2a
＋1＝a
＋a
＋2a
为等差数列；3通项法：a
为
的一次函数a
为等差数列；4前
项和法：S
＝A
2＋B
或S
＝
a12＋a
2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a
＋1－a
＝d和a
－a
－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“
≥2”，否则
＝1时，a0无定义．
以题试法1．已知数列a
的前
项和S
是
的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝61求S
；2证明：数列a
是等差数列．解：1设S
＝A
2＋B
＋CA≠0，
－2＝A＋B＋C，则0＝4A＋2B＋C，
6＝9A＋3B＋C，
解得A＝2，B＝－4，C＝0故S
＝2
2－4

2证明：∵当
＝1时，a1＝S1＝－2
当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝2
2－4
－2
－12－4
－1＝4
－6
∴a
＝4
－6
∈N．a
＋1－a
＝4，
∴数列a
是等差数列
等差数列的基本运算
典题导入例22012重庆高考已知a
为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝121求a
的通项公式；2记a
的前
项和为S
，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．自主解答1设数列a
的公差为d，由题意知
2a1＋2d＝8，
a1＝2，

解得
2a1＋4d＝12，
d＝2
f所以a
＝a1＋
－1d＝2＋2
－1＝2
a1＋a
2＋2
2由1可得S
＝2＝2＝
＋1．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a2k＝a1Sk＋2从而2k2＝2k＋2k＋3，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1舍去，因此k＝6
由题悟法1．等差数列的通项公式a
＝a1＋
－1d及前
项和公式S
＝
a12＋a
＝
a1＋
2－1d，共涉及五个量a1，a
，d，
，S
，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想r