第二节
等差数列及其前
项和
知识能否忆起
一、等差数列的有关概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a
＋1－a
＝d
∈N，d为常数．2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋2b，其中A叫做a，b的
等差中项．
二、等差数列的有关公式
1．通项公式：a
＝a1＋
－1d2．前
项和公式：S
＝
a1＋
2－1d＝a1＋2a

三、等差数列的性质
1．若m，
，p，q∈N，且m＋
＝p＋q，a
为等差数列，则am＋a
＝ap＋aq2．在等差数列a
中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd3．若a
为等差数列，则S
，S2
－S
，S3
－S2
，…仍为等差数列，公差为
2d4．等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前
项和S
有最小值．d0时为递减数列，且当a10时前
项和S
有最大值．5．等差数列a
的首项是a1，公差为d若其前
项之和可以写成S
＝A
2＋B
，则A
＝d2，B＝a1－d2，当d≠0时它表示二次函数，数列a
的前
项和S
＝A
2＋B
是a
成等
差数列的充要条件．
小题能否全取
1．2012福建高考等差数列a
中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列a
的公差为
A．1
B．2
C．3
D．4
2a1＋4d＝10，解析：选B法一：设等差数列a
的公差为d，由题意得
a1＋3d＝7
fa1＝1，
解得
故d＝2
d＝2
法二：∵在等差数列a
中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2
2．教材习题改编在等差数列a
中，a2＋a6＝32π，则si
2a4－π3＝

A
32
B12
C．－
32
D．－12
解析：选D∵a2＋a6＝32π，∴2a4＝32π
∴si
2a4－π3＝si
32π－π3＝－cosπ3＝－12
3．2012辽宁高考在等差数列a
中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝
A．58
B．88
C．143
D．176
解析：选BS11＝11a12＋a11＝11a42＋a8＝88
4．在数列a
中，若a1＝1，a
＋1＝a
＋2
≥1，则该数列的通项a
＝________解析：由a
＋1＝a
＋2知a
为等差数列其公差为2
故a
＝1＋
－1×2＝2
－1答案：2
－15．2012北京高考已知a
为等差数列，S
为其前
项和，若a1＝12，S2＝a3，则a2＝________，S
＝________解析：设a
的公差为d，
由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝12，所以d＝12，故a2＝a1＋d＝1，S
＝
a1＋12
－1d＝12
＋12
2－
×12＝14
2＋14

f答案：114
2＋14
1与前
项和有关的三类问题1知三求二：已知a1、d、
、a
、S
中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．
2S
＝d2
2＋a1－d2
＝A
2＋B
d＝2A
3利用二次函数的图象确定S
的最值时，最高点r