i2LAi
c为任意常数
T
27．设A为m×
矩阵，B为m×s矩阵证明：ABO的充分必要条件是B的每个列向量为齐次线性方程组AX0的解解：设Bβ1β2Lβs）则
uuuuvv
uuv
uuvuuvuuvABAβ1Aβ2LAβs）0则
uuvAβ10vuuAβ20MuuAβv0s
等价于AX028．设A为m×
矩阵，且rAr＜
求证：存在秩为
r的
×
r矩阵B，使得ABO
解：设
η1η2Lη
r为齐次方程组AX0的一个基础解系
uuuuvvuuuv
vv
v
令Bη1η2Lη
r）则
uuuuvvuuuvABAη1Aη2LAη
r0
而
rB
r
f29．A为
阶矩阵，设并且A≠O求证：存在一个
阶矩阵B≠O使ABO的充分必要条件是detA0解：存在一个
阶矩阵B≠0，使AB0AX0detA0
30．设A为m×
矩阵，且rA
，又B为
阶矩阵求证：（1）如果ABO，则BO；（2）如果ABA，则BE证明：由习题结论论知1）证将B分块，设BB1B2LB
其中
Bjb1jb2jLb
jj12L
T
则：
ABAB1B2LB
AB1AB2LABt
由AB0可设
ABj0
cj12Lt
考虑齐次线性方程组AX0其中Xx1x2x3Lx
T
显然B的列向量B1B2LB
都是
AX0的解向量，所以方程组
AX0的任一
基础解系所含向量个数为
rA由此rB≤
rA即rArB≤
又rA

∴rB0
即
B0
2）ABA0ABE0由上分析知BE0从而BE（B）1．填空题（1）设向量α1101α2010α3001，则向量α110可表示为α1α2α3的线性组合____________；（2）已知向量组α131aα24a0α310a，则当a____________时，1α2α3线性相关；α
f1（3）设三阶矩阵A23
210
22，αa11T已知Aα与α线性相关，则a________；4
（4）已知向量组α1124Tα2231Tα3a1aTα410bT的秩为2，则a________，b________
1（5）已知方程组21
23a
1x11a2x23无解，则a________；2x30
（6）线性方程组
x13x23x3x4b1x1x2x3b2xxxxb34312
有解的充分必要条件是b1b2b3满足_____________；
0（7）设矩阵A11
_____________；（8）设矩阵01011，则齐次线性方程组EAX0的一个基础解系是1
2A31
143
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