010）T
23．证明：线性方程组
x1x2a1x2x3a2x3x4a3xxa544x5x6a5
c1c2任意常数）
有解的充分必要条件是∑ai0在方程组有解时，求方程组的全部解
i1
5
10解：00100001
11000100000
01100001000
0011011101
00011
a1a2a3→a4a5a1a5a1a2a5a1a2a3a5a1a2a3a4a5
100
a12a2a3a4a5
当a1a2a3a4a50时，方程组有解
a1a2a3a4a2a3a4Xa3a4a40
11c111
c为任意常数）
24．已知齐次线性方程（Ⅰ）（Ⅱ）的基础解系分别是，
01010111ξ1ξ2和η1η210100101试求方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的全部公共解，解：方程组ⅠⅡ的全部解为
fK1ξ1k2ξ2l1η1l2η2
uv
uuv
uuv
uuv
k2l2k2l1l2k1l1k2l2k2l20k10k2l1l20k2ck1l10l12ck2l20l2cx11x2c1且全部公共解为x32x14
25．证明：如果线性方程组
a11x1a12x2La1
x
b1a21x1a22x2La2
x
b2LLLLLLLLLLLa
1x1a
2x2La
x
b

c为任意常数）
c为任意常数）
的系数矩阵Aaij
×
与矩阵
a11a21CMa
1b1a12a22Ma
2b2LLLLa1
a2
Ma
b
b1b2Mb
0
的秩相等，则此线性方程组有解解：rA≤rAb≤rc则rArc则rArAb故方程组有解
26．设齐次线性方程组
fa11x1a12x2La1
x
0a21x1a22x2La2
x
0LLLLLLa
1x1a
2x2La
x
0
的系数矩阵Aaij
×
的秩为
1求证：此方程组的全部解为
ηcAi1Ai2LAi
T
其中Aij1≤j≤
为元aij的代数余子式，且至少有一个Aij≠0，c为任意常数
解：QrA
1∴方程组只有一个基础解系又aj1Ai1aj1Ai1Laj
Ai
0j≠i
∴Ai1Ai2LAi
T为一个基础解系
全部解为cAi1Ar