141
1021
1298
f110302112101121020601→02221→01111解：12152520444200000
r2
111110211212111020341303→→2）254290322500212003311800
r3
102037212000
19．设向量组α1α2Lαs的秩为r，证明：α1α2Lαs中任意r个线性无关的向量都是它们的一个极大线性无关组
解：设a1，为a1Las中任意2个线性无关的向量则ar
uvuuuvv
uuv
uuuvuuvuvuuvar1，ar都可由a1Lar线性表示L
故它们为a1Las的一个极大线性无关组
uv
uuv
20．已知向量组（Ⅰ）α1α2α3（Ⅱ）α1α2α3α4；；（Ⅲ）α1α2α3α4α5如果各向量组的秩分
别为r（Ⅰ）r（Ⅱ）3，r（Ⅲ）4证明：向量组α1α2α3α5α4的秩为4
解：由r13知α1α2α3线性无关
uuuuuuvvv
uuuuuuuuvvvvuuvuuuuuuvvvrⅡ3知α1α2α3α4线性相关即α2可由α1α2α3线性表示uuuuuuuuvvvvrⅢ4知α1α2α3α5线性无关
则α1α2α3α5α4可由α1α2α3α5线性表示
uuuuuuuuuuvvvvv
uuuuuuuuvvvv
uuuuuuuuuuvvvvv∴α1α2α3α5α4的秩为4
21．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：
2xxx40（1）12x1x3x40
x1x2x3x40（2）x1x22x3x403xxx0412
fx1x2x3x4x503x12x2x3x43x50（3）x22x32x46x505x14x23x33x4x50
2x14x25x33x40（4）3x16x24x32x404x8x17x11x02341
解：1
21
10
01
10→11
T
10
21
11
基础解系η11210
uuv
η20111T
uuv
通解为Xc1η1c2η2c1c2为任意常数
uuv
uuv
uuv
1111112）1121→02310102
uuv
1010211013132→2320000
uuv1310Tη20101T22uuvuuvuuv通解为Xc1η2c2η2c1c2为任意常数
基础解系η1r