1
21a即a2或a3时，线性相关a321a2°当≠即a≠2且a≠3时，线性无关a3
11．设α1α2α3线性无关，又β1α1α22α3β2α2α3β12α1α23α3证明：向量组
β1β2β3线性相关
解：设k1β1k2β2k3β30
uuv
uuv
uuv
v
uvuuvuuvuuuuvvuuuuvvuuvvk1α1α22α3k2α1α3k32α1α23α30uvuuvuuvvk12k3α1k1k2k3α22k2k23k3α30
因为α1α2α3线性无关，则
uuuuvuuvv
k12k30k12ck1k2k30k2c（c为任意常数）2kk3k0kc1233
则线相关
12．已知向量组β1β2β3可由向量组α1α2α3线性表示：
fβ1α1α2α3β2α1α2α3βααα1233
（1）试把向量组α1α2α3由向量组β1β2β3线性表示；（2）这两个向量组是否等价？
uuuuuuuuvvvvβ1α1α2α3vvvuuuuuuuuv解：1）由β2α1α2α3vuuuuuuvvvuuβ3α1α2α3
vvuu1uu1uuvα1β1β222uuvuuv1uuv1得α2β2β322uu1uu1uuvvvα3β1β322
2）等价，因为α1α2α3和β1
uuuuvuuvv
uuv
β2β3可以互相线性表示
uuv
13．设
维向量组α1100L0α2110L0Lα
111L1试证：向量组α1α2Lα
与

维基本单位向量组ε1ε2Lε
等价
uuuuvvα1ε1vvuuvuuuuα2ε1ε2解：因MuuvuuuuuuαεvεvLεv12
uvuuvε1α1vvvuuuuuuε2α2α1又Muuuuuuuuuuεvαvαvαv
11
即α1α2Lα
和ε1，ε2，L，ε
可以互相线性相示，则它们等价
uuuvv
uuv
uuv
uuv
uuv
14．证明：如果
维基本单位向量组ε1ε2Lε
可以由
维向量组α1α2Lα
线性表示，则向量组
α1α2Lα
线性无关
f解：因为α1，α2Lα
和ε1
uv
uuv
uuv
uuuuvv
ε2Lε
可以相互相线性表示，则它们等价
uuv
所以α1，α2Lα
线性无关
uuv
uuv
uuv
15．求下列向量组的一个级大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示：（1）α1110Tα2121Tα3231Tα4352T；（2）α15231Tα24123Tα31112Tα43412T；（3）α11234Tα22341Tα32583Tα4526912Tα53r