2010学年研究生《数值分析》20102011学年研究生《数值分析》参考答案与评分标准
一、（10分）（1）误差产生的来源主要是哪几方面？（2）设x10±5，求函数fx

x的相对误差界。
解：（1）误差产生的来源主要是模型误差、观测误差、舍入误差、截断误差。（2）近似数x10，绝对误差限εx005，自变量的相对误差限为



εrx
函数值的绝对误差
0050005。10
fxfx≈f′xxx
所以函数值的相对误差
1x



11

xx


xxx，
x
e
r
fxfxfx

≈
x


xx


xx
1xx1≤εrx
x
代入εrx得数据，可取函数值fx相对误差限为：
εrfx
11εrx0005。

二、（10分）设l0x，l1x，Ll
x是以x0x1Lx
为节点的Lagra
ge插值基函数，试证：
k011∑lj0x0k12L
j01
xxLxk
101

kj
2设px为任意首项次数为1的
1次多项式，则
px∑pxjljxωx，
j0


其中ωxxx0xx1Lxx
。，利用Lagra
ge插值余项证明：（1）考虑函数fxxk（其中k012L
1）
1
f公式有
fxL
x
即
f
1ξxx0xx1Lxx
1
f
1ξfx∑xlxxx0xx1Lxx
，
1j0
kjj
①
其中ξ介于x，x0x1Lx
之间。当k0时，fx≡1，f
1
x0，于是由式①得，
1∑xkljxj
j0


f
1ξxx0xx1Lxx
0
1
取x0既得
∑xl01；
j0kjj
1
当k12L
时，fxxk，f
x0，于是由式①得，
xk∑xkljxj
j0


f
1ξxx0xx1Lxx
0
1
取x0既得
∑xl00；
j0kjj
1


当k
1时，fxx
1，f
x
1，于是由式①得，
x
1∑x
1ljxj
j0


f
1ξxx0xx1Lxx
xx0xx1Lxx
1

取x0既得
∑xl01
j0kjj


x0x1Lx
。
2若px为任意首项次数为1的
1次多项式，则p
1x
1，则利用Lagra
ge插值余项公式有
pxL
x
即px
p
1ξxx0xx1Lxx
1
∑px
j0


j
ljxωx。
2
f三、（15分）1、叙述3次样条的定义；2、确定参数a、b、c、d、e的r