与平面所成的角arcsi
l
l
(3)求二面角
法一、在内al,在内bl,其方向如图,则二
面角l的平面角arccosab
ab
法二、设
1
2是二面角l的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l的平面角arccos
1
2
1
2
例1.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱
态度决定人生,细节决定成败!23
f24
A1D1A1B1的中点.
(Ⅰ)求异面直线DE与FC1所成的角;
(II)求BC1和面EFBD所成的角;
(III)求B1到面EFBD的距离
解:(Ⅰ)记异面直线DE与FC1所成的角为,
则等于向量DE与FC1的夹角或其补角,
cosDEFC1DEFC1
DD1D1EFB1B1C1DEFC1
22arccos2
555
5
(II)如图建立空间坐标系Dxyz,
则DE102,DB220
设面EFBD的法向量为
xy1
得
221又BC1202记BC1和面EFBD所成的角为
由
DE
0
DB
0
则
si
cosBC1
BC1
BC1
22
∴
BC1
和面
EFBD
所成的角为
4
.
(III)点B1到面EFBD的距离d等于
向量BB1在面EFBD的法向量上的投影的绝对值,
态度决定人生,细节决定成败!
fdBB1
1
3
例2.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F
(1)求证:PA平面EDB;(2)求证:PB平面EFD(3)求二面角CPBD的大小
P
FE
D
C
A
B
练习:1.在正四面体SABC中,棱长为a,EF分别为SA和BC的中点,求异面
直线BE和SF所成的角.(arccos2)3
2.在边长为1的菱形ABCD中,ABC60,将菱形沿对角线AC折起,
使折起后BD=1,求二面角BACD的余弦值.(1)3
典型例题:
★★1.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角
的余弦值为
。
★★★2.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB90,EA⊥平
面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥ACAB2EF(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE(Ⅱ)若AC=BC2AE求二面角ABFC的大小.
态度决定人生,细节决定成败!25
f26
★★★3如图,在五棱锥PABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC,
ABC45AB22BC2AE4,三角形PAB是等腰三角形。
(Ⅰ)求证:平面PCD平面PAC;
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;(Ⅲ)求四棱锥PACDE的体积。
必修五:
一、解三角形:(1)三角形的面积公式:S
1absi
C2
1acsi
B2
1bcsi
2
A:
(2r