与平面所成的角arcsi
l
l
（３）求二面角
法一、在内al，在内bl，其方向如图，则二
面角l的平面角arccosab
ab
法二、设
1
2是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角arccos
1
2
1
2
例１．如图，在棱长为２的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱
态度决定人生，细节决定成败！23
f24
A1D1A1B1的中点．
（Ⅰ）求异面直线DE与FC1所成的角；
（II）求BC1和面EFBD所成的角；
（III）求B1到面EFBD的距离
解：（Ⅰ）记异面直线DE与FC1所成的角为，
则等于向量DE与FC1的夹角或其补角，
cosDEFC1DEFC1
DD1D1EFB1B1C1DEFC1
22arccos2
555
5
（II）如图建立空间坐标系Dxyz，
则DE102，DB220
设面EFBD的法向量为
xy1
得
221又BC1202记BC1和面EFBD所成的角为
由
DE




0
DB
0
则
si


cosBC1



BC1
BC1



22
∴
BC1
和面
EFBD
所成的角为
4
．
（III）点B1到面EFBD的距离ｄ等于
向量BB1在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
态度决定人生，细节决定成败！
fdBB1
1
3
例2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F
（1）求证：PA平面EDB；（2）求证：PB平面EFD（3）求二面角CPBD的大小
P
FE
D
C
A
B
练习：１．在正四面体SABC中，棱长为a，EＦ分别为SA和BC的中点，求异面
直线BE和SF所成的角．（arccos2）3
２．在边长为１的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，
使折起后BD＝１，求二面角BACD的余弦值．（1）3
典型例题：
★★1．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角
的余弦值为
。
★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB90，ＥＡ⊥平
面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣＡＢ２ＥＦ（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ２ＡＥ求二面角ＡＢＦＣ的大小．
态度决定人生，细节决定成败！25
f26
★★★3如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，
ABC45AB22BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形。
（Ⅰ）求证：平面PCD平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥PACDE的体积。
必修五：
一、解三角形：（1）三角形的面积公式：S

1absi
C2

1acsi
B2

1bcsi
2
A：
（2r