，
是与ab都垂直的向量）
例1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E为C1D1的中点，求下列问题：（1）求B1到面A1BE的距离；
解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则

A1E

1
12
0
A1B

011
，设



x
y
z
为面
A1BE
的法向量
z
则



A1E

0


x

12
y

0
D1

A1B0yz0
A1
E
C1
B1
取x1，得y2z2，
122
D
A
x
Cy
B
态度决定人生，细节决定成败！19
f20
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1010
得点B1到面
A1BE
的距离为d


A1B1



23
（2）求D1C到面A1BE的距离；
z
D1A1
解由1知平面A1BE的法向量
122斜向量D1A1100
D
A
x
点D1到面A1BE的距离为d


D1A1





13
3求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1A1
解由图知平面A1BD的法向量为
AC1111又斜向量D1A1100
D
A
x
点D1到面A1BD的距离为d


D1A1




13
即面A1BD与D1CB1的距离为
33
4求异面直线D1B与A1E的距离
解如图建立空间直角坐标系Dxyz
则D1001B110A1101E

A1E

1
12
0D1B

111
0
12
1
设
xyz是与A1ED1B都垂直的向量，则
z
D1A1
DA
x



A1ED1B

00


yz

2x3x
，取
x

1，得一个法向量为



123
选A1E与BD1的两点向量D1A1100
E
C1
B1
Cy
B
E
C1
B1
Cy
B
E
C1
B1
Cy
B
态度决定人生，细节决定成败！
f得A1E与BD1的距离为dD1A1

1414
练习1：
1．如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1ACB90，AA1到面A1BC的距离
C1
2，求点B1
A1
B1
C
A
B
2．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
3．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。
D1A1
DA
C1B1
CB
态度决定人生，细节决定成败！21
f22
4．已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。
5．如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCA1，AA12，求点B1到面A1BC
的距离
6．在直三棱柱ABCA1B1C1中，A90，OO1G
分别为BCB1C1AA1的中点，且
ABACAA12．
（１）求O1到面A1CB1的距离；（
2）
2
（２）求
BC
到面GB1C1
的距离．（
263
）
立体几何中的向量方法
态度决定人生，细节决定成败！
f空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设a、b分别为异面直线a、b的方向向量则两异
面直线所成的角（２）求线面角
arccosab
ab
设l是斜线l的方向向量，
是平面的法向量，
则斜线lr