，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，
记作pxyz．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标
xyz．
17、设ax1y1z1，bx2y2z2，则1abx1x2y1y2z1z2．
2abx1x2y1y2z1z2．3ax1y1z1．
4abx1x2y1y2z1z2．
5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．
6若b0，则ababx1x2y1y2z1z2．
7aaax12y12z12．
8cosabab
x1x2y1y2z1z2
．
ab
x12y12z12x22y22z22
9x1y1z1，x2y2z2，则dx2x12y2y12z2z12．
18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则abab
态度决定人生，细节决定成败！17
f18
abR，异面垂直时ababab0．
19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则ab
ab，abab0．
20、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．
21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。
22、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为
，且a，则aaa
a
0，aaa
a
．
★法向量的计算


方法一：已知ABx1y1z1，ACx2y2z2设面平ABC
的一个法向量为



x
y
z
，由


⊥面
ABC
得所以：



AB


AC

所以




AB

0

AC0
即xx1yy1zz10
xx2yy2zz20
上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或x或y）等于一
个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。


方法二：若ABx1y1z1，ACx2y2z2，则平面ABC的一
个法向量为：

ABAC
y1z1z1
y2z2，z2
x1x1y1
x2，x2y2
（y1z2y2z1，z1x2z2x1，x1y2x2y1）
立体几何中的向量方法
P
距离问题
一、求点到平面的距离
1．（一般）传统方法：
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，
O
再计算这个垂线段的长度；

态度决定人生，细节决定成败！
f2．还可以用等积法求距离；3．向量法求点到平面的距离
si
ddAPsi
AP
在RtPAO中，
又si
AP
AP
dAP
（其中AP为斜向量，
为法向量）
二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：
dAP
（其中AP为斜向量，
为法向量）
三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：
dAP
（其中AP为斜向量，
为法向量）
四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：
dAP

A
P
d
O
l
A
Pd
O
A
Pd
O
a
P


d
b

A
（其中AP为两条异面直线上各取一点组成的向量r