20，……4分42
由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得
24
3k2812k284k210，即k21，……①4
将ykx3代入x2y21得13k2x263kx120，3
……5分……6分
由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B得
11
3k2063k2

4813k2
124

3k2

0
，即
k2

13
且
k2

43
，……②……7
分
设
Ax1
y1
，
Bx2
y2
，则
x1

x2

63k13k2
，
x1x2

1213k2
，
……8分
OAOB6得x1x2y1y26，而
x1x2y1y21k2x1x2
3kx1

x2

3

121k213k2

18k213k2

3

3k23k2
91
，
……10分
于是
3k23k2
91

6，解此不等式得k2
1，或k2

13
，……③
由①，②，③得1k21，或1k24，
4
3
3
故
k
2
的取值范围为

14

13

1
43

．
……12分
21解：（1）函数fx2l
xax2的定义域是0，
fx22ax21ax2，x0
x
x
……1分
①当a0时，fx0，函数fx的单调递增区间为0，没有单调递减区间；
②当a0时，令fx0，得xaa
当x0a时，fx0，当xa时，fx0，
a
a
9
f函数fx的单调递增区间为0a，单调递减区间为a……3分
a
a
综上所述，当a0时，函数fx的单调递增区间为0，没有单调递减区间；
当a0时，函数fx的单调递增区间为0a，单调递减区间为a……4分
a
a
（2）证明：fx有最大值且最大值是－1，由（1）知，
a0，且
fxmax

f
al
a11，a
a1，
法一：（二次部分求导，用隐零点求最值问题）
……5分
设hxgxfxx1exx23x42l
x
hxx2ex2x32x2exx22x1x2ex21……6分
x
x
x
又设xex21，则xex10，
x
x2
所以x
在0上单调递增，因为1

1
e4

2
4

0，1

1
e3

2
3

0，
4
3
所以存在
x0

14

13
，使得x0


0
，
当x0x0时，x0，当xx0时，x0；
所以当x0x0时，hx0，hx单调递减；当xx0时，hx0，hx单调
递增；
hxmi
hx0x01ex0x023x042l
x0
由ex0210，得ex012，
x0
x0
……8分
所以hx0

x0
1


1x0
2

x02
3x0

4
2l

x0

x02

x0
5
1x0

2l

x0
，
x0


14

13
，
设xx2x512l
x，x11，
x
43
……9分

x

2x
1
1x2

2x

2x21x

x21x2

x2
12xx2
1
，
……10分
10
f所以当x11时，x0，x在11单调递减，
43
43

h
x0



x0


13



13
2

13

5

3

2l

13

49

2

2l

3

0
，……11r