到，再由已知条件推导出
面，由此证明平面．
（Ⅱ）以坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐
标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余
【详解】（Ⅰ）证明：∵分别是
的中点，
又平面，不包含于平面，
∴面，
又面，面
面
，
∴
，
又
，面
面
，
面
面，∴面
∴直线平面．．
（Ⅱ）坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标
f系，
设
，面的法向量为
则
取
，得
，


依题意，得
∴
∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，
．
【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题
时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19某学校为鼓励家校互动与某手机通讯商合作为教师办理流量套餐为了解该校教师手机
流量使用情况通过抽样得到位教师近年每人手机月平均使用流量单位的数据其
频率分布直方图如下：
f若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量并将频率为概率回答以下
问题
Ⅰ从该校教师中随机抽取人求这人中至多有人月使用流量不超过
的概率；
Ⅱ现该通讯商推出三款流量套餐详情如下
套餐名称
月套餐费单位元
月套餐流量单位
这三款套餐都有如下附加条款套餐费月初一次性收取手机使用一旦超出套餐流量系统就
自动帮用户充值
流量资费元；如果又超出充值流量系统就再次自动帮用户充值
流量资费元次依次类推如果当月流量有剩余系统将自动清零无法转入次月使用
学校欲订购其中一款流量套餐为教师支付月套餐费并承担系统自动充值的流量资费的
其余部分由教师个人承担问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由
【答案】10784
2学校订购套餐最经济
【解析】
【分析】
Ⅰ先求得该教师手机月使用流量不超过的概率为

利用互斥事件的概率和独立重复试验的概率求这人中至多有人月使用流量不超过的概
率Ⅱ先分别求出三种套餐的期望，再比较它们的大小即得解
f【详解】Ⅰ由直方图可知从该校中随机抽取一名教师该教师手机月使用流量不超过
的概率为

设“从该校教师中随机抽取人至多有人月使用流量不超过”为事件
则

Ⅱ依题意


当学校订购套餐时设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为
且



所以
元
当学校订购套餐时设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为
r