13复数的应用本节我们研讨复数应用与几何不等式。每个复数都对应于复数平面上的一点，所有的复数都属于复数集合，其标准符号为C下列的基本不等式是应用的主要手段。定理111：若z1z2z
C，则z1z2z
z1z2z
证明：由复数定义：zkakibk，（其中k12
），akbkR则：zkak2bk2，z1z2z
ak2bk2
k
21
而：z1z2z
akbk2
2kk
于是求证：z1z2z
z1z2z
即：z1z2z
2z1z2z
2当
2时，左边：
a12b12a22b222a12b12a22b222a12b12a22b22
右边：a1a22b1b22a12a22b12b222a1a2b1b2可见左右两边的差异是a12b12a22b22与a1a2b1b2将它们的差异项平方后得到：左边差异项：a12b12a22b22a12a22a12b22a22b12b12b22而右边差异项：a1a2b1b22a12a22b12b222a1a2b1b2由均值定理：a12b22a22b122a1a2b1b2故：左边右边，即：21式当
2时成立，即：z1z2z1z2当
3时，由已证：z1z2z1z2得：
z1z2z3z1z2z3z1z2z3z1z2z3
递推下去得：z1z2z
z1z2z
证毕。
21式是重要的不等式，它与绝对值不等式类似。由于复数平面是二维平面，所以常
常可以与平面向量不等式比较确认。定理112：对复数平面内任意点ABCD，都有：ABCDBCDAACBD此不等式称为托勒密不等式。
第1页
22
f证明：设abc0是对应于ABCD在复数平面的复数，（0点是个原点，对应于D）于是，托勒密不等式变为：abcbcaacb恒等式：abcbcaacb应用三角不等式：abcbcbabcbcbacb①式得证。【试题7】设P是ABC内任意一点，G是ABC的重心，证明下列不等式：⑴BCPBPCABPAPBCAPCPABCCAAB；⑵PABCPBCAPCAB3PGBCCAAB【解析】我们只证⑴，⑵留给读者设ABCP为复数平面内的点，并使P对应于0点。我们需要证明的是：B①APxyC
333
①
BCBCABABCACABCCAAB
将三角不等式应用于下列恒等式：
BCBCABABCACAr