的平稳性只依赖于其自回归部分即L
0的全部根取值在单位圆之外绝对值大于1其可逆性则只依赖于移动平均部分即L0的根取值应在单位圆之外四单整自回归移动
f平均过程
1对于ARMA过程包括AR过程如果特征方程L2如果
0的全部根取值在单位圆之外则该过程是平稳的
若干个或全部根取值在单位圆之内则该过程是强非平稳的xt13xt1ut特征方程的根xt113077上式两侧同仍
减xt1得然非平稳
03xt1ut
3除此之外还有第三种情形即特征方程的若
干根取值恰好在单位圆上这种根称为单位根这种过程也是非平稳的假设一个随机过程含有d个单位根其经过d次差分之后可以变换为一个平稳的自回归移动平均过程则该随机过程称为单整自回归移动平均过程伯克斯詹金斯积数十年理论与实践的研究指出时间序列的非平稳性是多种多样的然而幸运的是经济时间序列常常具有这种特殊的线性齐次非平稳特性即参数是线性的xt及其滞后项都是一次幂的对于一个非季节性经济时间序列常常可以用含有一个或多个单位根的随机过程模型描述ytLutz0的根都大于1考虑如下模型其中LLd是一个平
稳的自回归算子即算子若取表示为
L表示可逆的移动平均xtLdytxtL则可ut
说明yt经过d次差分之后可用一个平稳的可逆的ARMA过程xt表示随机过程yt经过d次差分之后可变换为一个以L为p阶自回归算子L为q阶移动平均算子的平稳可逆的随机过程则称yt为pdq阶单整单积自回归移动平均过程记为ARIMApdq这种取名的
f目的是与以后各章中的称谓相一致ARIMA过程也称为综合自回归移动平均过程其中Ld称为广义自回归算子达式p0d0q0时式随机过程的一般表0p0q
式变成ARMApq过程ddq
0时ARIMA过程变成AMq过程p白噪声过程做dyt
0时ARIMA过程变成ytSdxtSxt1xt1
xt的逆运算
其中S是无限累加积分算子当d1ytLL2则xtS
1时Sxt定义如下1L1xt1L1
单整单积与差分互为逆运算第三节
自相关函数与偏自相关函
数以上介绍了随机过程的几种模型实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具一自协方差函数与自相关函数的定义12都是随机变量E12
由第一节知随机过程xt中的每一个元素xtt对于平稳的随机过程其期望为常数用xt随机过程的取值将以的方差也是一个常量2x2t12的离散程度为中心上下变动Varxt表示即t
平稳随机过程ExtExt2Ext
x2用来度量随机相隔k期的两个随
过程取值对其均值
机变量xt与xtkr