abc为常数0a≠
2顶点式2
yaxhkahk为常数0a≠
3两根式
12
yaxxxx0a≠1x2x
是抛物线与x轴两交点的横坐标注意任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式但并非所有的二次函数都可以写成交点式只有抛物线与x轴有
交点即2
40bac≥时抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1二次项系数a
二次函数
2
yaxbxc中a作为二次项系数显然0a≠
⑴当0a时抛物线开口向上a的值越大开口越小反之a的值越小开口越大⑵当0a时抛物线开口向下a的值越小开口越小反之a的值越大开口越大
总结起来a决定了抛物线开口的大小和方向a的正负决定开口方向a
的大小决定开口的大小
2一次项系数b
f在二次项系数a确定的前提下b决定了抛物线的对称轴⑴在0a的前提下
当0b时0
2ba
即抛物线的对称轴在y轴左侧
当0b时0
2ba即抛物线的对称轴就是y轴
当0b时0
2b
a
即抛物线对称轴在y轴的右侧
⑵在0a的前提下结论刚好与上述相反即
当0b时0
2b
a
即抛物线的对称轴在y轴右侧
当0b时0
2ba即抛物线的对称轴就是y轴
当0b时0
2b
a
即抛物线对称轴在y轴的左侧
总结起来在a确定的前提下b决定了抛物线对称轴的位置
ab的符号的判定对称轴
ab
x2
在y轴左边则0ab在y轴的右侧则0ab概括的说就是“左同右异”
总结3常数项c
⑴当0c时抛物线与y轴的交点在x轴上方即抛物线与y轴交点的纵坐标为正⑵当0c时抛物线与y轴的交点为坐标原点即抛物线与y轴交点的纵坐标为0⑶当0c时抛物线与
y轴的交点在x轴下方即抛物线与y轴交点的纵坐标为负
总结起来c决定了抛物线与y轴交点的位置
总之只要abc都确定那么这条抛物线就是唯一确定的
二次函数解析式的确定
根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式才能使解题简便一般来说有如下几种情况
1已知抛物线上三点的坐标一般选用一般式
2已知抛物线顶点或对称轴或最大小值一般选用顶点式
3已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标一般选用两根式
4已知抛物线上纵坐标相同的两点常选用顶点式
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况可以用一般式或顶点式表达1关于x轴对称
f2yaxbxc关于x轴对称后得到的解析式是
2
yaxbxc2
yaxhk
关于x轴对称后得到的解析式是
2
yaxhk
r