第三章31313
空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量的数量积运算
A级一、选择题
基础巩固
1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中真命题是A．若ab＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若ab＝ac，则b＝c答案：B2．下列命题中，正确的命题个数为

①mλab＝mλabm，λ∈R；②ab＋c＝b＋ca；③a＋b2＝a2＋2ab＋b2A．0B．1C．2D．3
解析：三个命题都正确．答案：D3．已知非零向量a、b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是A．垂直C．不垂直B．共线D．以上都可能
1
f解析：a＋ba－b＝a2－b2＝0，所以a、b垂直．答案：A4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a＋3b＝A．13C．2B13D5a2＋6ab＋9b2＝
解析：a＋3b＝（a＋3b）2＝1＋6×cos60°＋9＝13答案：A
5．已知a＋b＋c＝0，a＝2，b＝3，c＝19，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为A．30°C．60°答案：C二、填空题6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a＝3，b＝1，c＝4，则ab＋bc＋ca的值为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＋b＋c2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋bc＋ca＝0，32＋12＋42所以ab＋bc＋ca＝＝－132答案：－137．已知a＝32，b＝4，m＝a＋b，
＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥
，则λ＝________．
2
B．45°D．以上都不对
f解析：由m⊥
，
得a＋ba＋λb＝0，所以a2＋1＋λab＋λb2＝0，所以18＋λ＋132×4cos135°＋16λ＝0，3即4λ＋6＝0，所以λ＝－2答案：－32
8．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．答案：90°三、解答题9已知在四面体OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC
证明：因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB所以∠AOC＝∠AOB
3
f→BC→＝OA→OC→－OB→＝OA→OC→－OA→OB→＝OA→OC→cos因为OA→OB→cos∠AOB＝0，∠AOC－OA→⊥BC→，所以OA⊥BC所以OA10如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2
1设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；π2设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．3→→→→→→1证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC因为BB1⊥平面ABC，→→→→所以BB1AB＝0，BB1BC＝0又△ABC为正三角形，→→→→π2π所以〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝33→→→→→→→→→→→因为AB1BC1＝AB＋BB1BB1＋BC＝ABBB1＋AB，BC＋BB1
2
→→→→r