式得C22于是所求特解为x42xex
例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为
r22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此所求通解为
yexC1cos2xC2si
2x
阶常系数齐次线性微分方程方程
y
p1y
1p2y
2p
1yp
y0称为
阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2p
1p
都是常数
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到
阶常系数齐次线性微分方程上去
引入微分算子D及微分算子的
次多项式LDD
p1D
1p2D
2p
1Dp
则
阶常系数齐次线性微分方程可记作D
p1D
1p2D
2p
1Dp
y0或LDy0
注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyD
yy
分析令yerx则LDyLDerxr
p1r
1p2r
2p
1rp
erxLrerx
因此如果r是多项式Lr的根则yerx是微分方程LDy0的解
阶常系数齐次线性微分方程的特征方程Lrr
p1r
1p2r
2p
1rp
0
称为微分方程LDy0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx
f一对单复根r12i对应于两项exC1cosxC2si
xk重实根r对应于k项erxC1C2xCkxk1一对k重复根r12i对应于2k项
exC1C2xCkxk1cosxD1D2xDkxk1si
x例4求方程y42y5y0的通解解这里的特征方程为
r42r35r20即r2r22r50它的根是r1r20和r3412i因此所给微分方程的通解为
yC1C2xexC3cos2xC4si
2x例5求方程y44y0的通解其中0解这里的特征方程为
r440
它的根为r12
1i2
r34
1i2
因此所给微分方程的通解为
x
ye2C1cos
2
x
C2
si

x2

e
x
2C3cos
2
xC4
si

x2
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程方程
ypyqyfx称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解yYx与非齐次方程本身的一个特解yyx之和
yYxyx当fx为两种特殊形式时方程的特解的求法
一、fxPmxex型当fxPmxex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为yQxex将其代入方程得等式
Qx2pQx2pqQxPmx1如果不是特征方程r2prq0的根则2pq0要使上式成立Qx应设为m次多项式
Qmxb0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解
fyQmxex2如果是特征方程r2prq0的单根则2pq0但2p0要使等式
Qx2pQx2pqQxPmx成立Qx应设为m1次多项式
QxxQmxQmxb0xmb1xm1bm1xbm通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1bm并得所求特解yxQmxex3如果是特征方程r2prq0的二重根则2pq02p0要使等式Qx2pQx2pqQxPmx成立Qx应设为m2次多项式Qxr