第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程方程
ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解
我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程
ypyqy0得
r2prqerx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解
特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式
pp24q
r12
2
求出特征方程的根与通解的关系
1特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关
的解这是因为
函数y1er1x、y2er2x是方程的解
又
y1y2

er1xer2x
er1r2x
不是常数
因此方程的通解为
yC1er1xC2er2x
2特征方程有两个相等的实根r1r2时函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分
f方程的两个线性无关的解
这是因为y1er1x是方程的解又
xer1xpxer1xqxer1x2r1xr12er1xp1xr1er1xqxer1x
er1x2r1pxer1xr12pr1q0
所以y2xer1x也是方程的解
且
y2y1

xer1xer1x
x不是常数
因此方程的通解为
yC1er1xC2xer1x
3特征方程有一对共轭复根r12i时函数yeix、yeix是微分方程的两个线性无
关的复数形式的解函数yexcosx、yexsi
x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y1eix和y2eix都是方程的解而由欧拉公式得
y1eixexcosxisi
x
y2eixexcosxisi
x
y1y22excosx
ex
cosx

12

y1

y2

y1y22iexsi
x
ex
si

x

12i

y1

y2

故excosx、y2exsi
x也是方程解
可以验证y1excosx、y2exsi
x是方程的线性无关解
因此方程的通解为
yexC1cosxC2si
x求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程
r2prq0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解
例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为
r22r30即r1r30其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为
yC1exC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件yx04、yx02的特解
f解所给方程的特征方程为r22r10即r120
其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为yC1C2xex
将条件yx04代入通解得C14从而y4C2xex
将上式对x求导得yC24C2xex
再把条件yx02代入上r