二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法
王捷
（烟台南山学院山东烟台265713）
摘要：在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为f1xexPmxcosx或f2xexPmxsi
x的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减
少将近一半
关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法
中图分类号：010
文献标识码：B
Theuseofcomplex
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No
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Abstract：I
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tialeguatio
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；methodsofcomplex
umber
在高等数学（同济五版）微分方程一章中，对于非齐次项为
fxexPlxcosxP
xsi
x的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解y的
求法非常繁琐，即便遇到Plx0或P
x0，即
fxexPlxcosx
或
fxexP
xsi
x
的情况，也得将其视为
fxexPlxcosx0si
x
或
fxex0cosxP
xsi
x
的情况进行求解即特解的形式都须设为
y

x
k
e
x

R1m

x
cos

x

R2m
si
x
1
作者简介：王捷，（1952），男，汉族，山西大同人，烟台南山学院理学院，副教授
f的形式，k按i不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1然而，在二阶常系数非
齐次线性微分方程中，非齐次项形如
f1xexPmxcosx
或
f2xexPmxsi
x
2
作者简介：王捷，（1952），男，汉族，山西大同人，烟台南山学院理学院，副教授
f的情况占大多数事实上，对于这类微分方程，我们可以用复数法进行求解下面来介绍这种方法
设二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为
FxPmxexcosxisi
x
则
f1xexPmxcosx
可看成Fx的实部，
f2xexPmxsi
x可看成Fx的虚部。再设非齐次项为f1x和f2x的微分方程的特解分别为y1和y2，则以Fx为非齐次项的微分方程的特解可表示为
由欧拉公式
yy1iy2
eixcosxisi
x
FxPmxexcosxisi
x可变形为
FxPmxeix
于是二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyPmxeix
的特解就可设为
xkQmxeix
的形式，其中，k按i不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1代入微分方程
后，所求的特解一定为yy1iy2这种形式
对r