密度的要求。在线弹性条件下，J积分与应变能释放率G是等同的，因此由J积分可得应力强度因子k。为了计算J积分，必须有一个根据其定义式建立的一个专用的计算机后处理程序并要有一个描述数值积分路径的子程序。如果在计算机中采用的是二次等参元，则最好选择通过单元Gauss点（而不是结点）的路径。在大多数情况下，用2x2的积分比用高阶积分所得的结果会更好些。目前，J积分的原理与应用范围已经分别得到发展与扩大，可以用于变厚度板、非均匀温度场以及有体力的情况并可用于裂尖应力场具有非负二分之一奇异性的情况。
第三章三维裂纹问
工程实际中的裂纹一般都是以非穿透厚度裂纹的形式出现的。即使对于穿透裂纹来说，在绝大多数情况下，它在起始阶段也是非穿透裂纹。为分析方便，这类非穿透裂纹一般用椭圆内埋裂纹，半椭圆表面裂纹和四分之一椭圆角裂纹来代表。三维裂纹问题与二维的显著区别是。应力强度因子沿着裂纹前缘变化，即k是参量角的函数。在三维裂纹前缘与物体表面的交点附近，应力具有非l2的奇异性，因此，严格说来，建立在l2奇异性基础上的k是没有意义的。然而已经发现，这种现象属一种很薄的边界层效应。对工程应用而言，一般可采用将内部的k值外延的方法解决。由于问题的复杂性，三维裂纹问题的精确解还只限于无限体中内埋椭圆裂纹
f的情况。对于工程中最常见的表面裂纹和角裂绞问题，则必须采用各类近似解法，这些解法主要有：有限元法，边界积分方程（边界元）法，混合法，解析变分法，权函数法，能量法，局部一整体法等。
31有限元法
与二维问题类似，三维裂纹分析的有限元法按采用的单元类型也可以分为常规元与奇异元两类。311各种单元l常规元用常规元解三维裂纹问题时，由于这种单元不具有奇异性，因此若基于位移或应力直接求解三维应力强度因子，则必须极大地增加自由度才能达到一定的精度。Hall等人提出了一种三维的“宏单元”macroeleme
t方法。这种方法首先把裂纹体分割为两个或多个由20结点等参元组成的子结构，用一个简单的20结点单元来代表裂纹所在的区域。然后再把这个含裂纹的区域模拟为一个宏单元。这个宏单元在裂纹前缘附近区域内有高密度的结点，并且与相邻的标准20结点等参元相容。这种方法能适用于任意形状的三维裂纹体。2奇异元为了更准确地描述裂纹前缘的应力奇异性，发展了几种特殊的单元。这些单元内的应力呈1r奇异性，因而将使三维裂纹有限元分析所需的自由度明显降r