低。Traccy提出了一种6结点的五边形奇异元，这种单元把裂纹前缘分割成若干线性区段，对于对称的三维裂纹，通常把裂纹前缘分割成8个奇异元。在裂纹体的其余部分，则利用8结点六面体等参元。Ster
和Becker，Blackbur
和Helle
提出了6结点（二维）和15结点的奇异元。这种15结点的五边形单元侧面为曲线形，它有6个角结点和9个中间结点，因为单元的侧面可为曲线，所以可用抛物线弧段近似地代表三维裂纹的前缘。这类奇异元与标准的20结点等参元是相容的。
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shell和Shaw对二维问题提出的四分之一结点奇异元可以方便地推广到三维裂纹的有限元分析中。对于三维问题，把20结点的六面体等参元靠裂纹前缘两侧边的中间结点向裂尖移动到四分之一边长处，即可实现沿侧边的1r奇异性。与二维问题类似，如果将六面体的一个侧面压缩为一条与裂纹前缘重合的曲线，则能在整个单元体内实现1r奇异性。这种退化的（畸变的）四分之一结点奇异元为五边形，有15个结点。与其他类型的奇异元相比，这种由20结点等参元退化而成的奇异元具有更大的吸引力，因为它很容易在许多通用的有限元程序中实现，无需对程序作任何修改。由于这一独特的优越性，这种奇异元已为研究者们广泛应用。需要指出的一点是，在将20结点退化等参元用于三维裂纹分析时，如果单元的长细比不合适，且前缘曲率半径较小时，则存在着雅可比为负值的危险性，从而导致解的误差。但这个问题是可以避免的，其方法是：使四分之一结点作微小的移动（尽量靠近四分之一位置，但又不是准确地在四分之一处）。另外，也可以令与裂纹前缘相对的那一个面变成曲面，此时用四分之一结点奇异元就不会产生上述问题。。3杂交元除了以上介绍的几类单元以外，还有两类杂交奇异元：应力杂交元和位移杂交元，这些奇异元的优点是：应力强度因子解是作为有限元解的一部分直接得到的。应力杂交元的应力奇异性是由应力强度因子k和近裂尖区的二维应力场解来表达的。其余的应力项则是满足平衡条件和裂纹面载荷为零的简单多项式，并且，沿着单元边界的位移设计成与常规单元相容在应变杂交元中，单元内的应力场的奇异性是由应力强度因子k和近裂尖区的位移解来体现的，并且在单元的边界上的位移与相邻的常规单元相容。这些奇异元的刚度矩阵是用修正的变分原理导出的。
32由有限元解导出应力强度因子的方法
用有限元法求解裂纹问题，除了某些特殊建立的单元外，一般都不能直接解出应力强度因子，而r