巧用数学方法处理物理极值问题
江苏省江阴市第一中学傅永祝（中教二级，83984520）内容提要：本文旨在通过一些关于极值问题的典型例题，如求追赶问题中怎样的情况下相距最近？小球从斜面下来怎样可以使时间最短？拉着物体在水平面上匀速运动怎样施力可以使所加力最小？在电路中，怎样可以使电阻消耗的功率最大？在电场中，哪一点的电场强度最大？通过这些例题，展示一些数学方法在处理物理物理问题上的优越性，使学生认识到，扎实的数学功底对于学好物理这门课程有很大的意义。关键词：极值问题二次函数配方法三角函数法基本不等式法
极值问题在物理课程中是常见的一类问题，对于此类问题，如果能结合一些数学上的判定方法，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。（一）二次函数配方法把二次函数yax2bxc配方得yax
4acb4a
2
b2a

2
4acb4a
2
，若a0，则当
x
b2a
时，y有极小值：ymi
4acb4a
2
；若a0时，则当当x
b2a
时，y有
极大值：ymax
。如果一个物理问题能建立yax2bxc的数学模型，就
可以用上述方法求出其极值。例1．一辆汽车从静止开始以1ms2的加速度前进，车后相距s025m处，与车运动方向相同的某人同时开始以6ms的速度匀速追车，能否追上？若追不上，求人、车间的最小距离是多少？解析当经过时间t后，汽车前进的位移为x1而人前进的位移为x2t此时人、车相距的距离为xs0x1x2代入相关数据可得x
12t
2
12
at
2
6t25
12
t67
2
上述表达式中，x是t的二次函数，从该函数式一下子就可以看出，x不可能等于0，即人不可能追上汽车，还可以看出，当t6s时，人、车具有最短距离xmi
7m。（二）三角函数法三角函数里有很多关系式，如：si
22si
cos、si
2cos21、
coscoscossi
si

等有时，处理物理极值问题时，这一类关系
式是很需要的。
f例2．给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，则斜面的倾角应设计成多大的角度？按这种设计，雨水从屋顶到屋檐的时间为多少？解析如图，设从屋顶A到屋檐B的水平距离为L，且斜面AB的倾角为θ。当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为agsi
θ从A到B的距离为Lcosθ设从A到B所用的时间为t，则
Lcos12
2Lgsir