元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故
而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个m
矩阵
a11
A


a21
a12
a22

a1

a2



aij
m


aij
am1am2am

a11
A


a21
a12
a22

a1

a2


称之为线性变换的系数矩阵。
am1am2am

线性变换和系数矩阵是一一对应的。
如直角坐标系的旋转变换（变量xy到变量xy的变换）
xcosxsi
y

y


si

x

cosy
的系数矩阵为
A


cossi

si
cos


恒等变换
35
fy1x1

y2

x2
ymxm
的系数矩阵为
1

例
E



1


1
a11x1a12x2a1
x
0
同样，齐次线性方程组

a21x1a22x2a2
x
0
am1x1am2x2am
x
0
a11
与系数矩阵
A


a21
a12
a22

a1

a2


，也是一一对应的
am1am2am

a11x1a12x2a1
x
b1
非齐次线性方程组

a21x1a22x2a2
x
b2
am1x1am2x2am
x
bm
a11
与增广矩阵
A


a21
a12
a22

a1
b1a2
b2
也是一一对应的。
am1am2am
bm
第二节矩阵的运算
一、加法设Aaijm
，Bbijm
都是m
矩阵则加法定义为
36
f显然

a11

b11
A

B


a21b21
am1bm1
a12b12a22b22
am2bm2

a1

b1


a2
b2


am
bm

①ABBA，②ABCABA
二、数乘
设是数Aaijm
是m
矩阵则数乘定义为
a11
A


a21
am1
a12a22
am2

a1
a2


am

显然
①AA，②AAA，③ABAB
三、乘法
乘法运算比较复杂首先看一个例子
设变量tt2到变量x1x2x3的线性变换为

x1x2

b11t1b21t1
b12t2b22t2
x3b31t1b32t2
变量
x1
x2
x3到变量
y1
y2
的线性变换为

y1y2

a11x1a21x1

a12x2a22x2
a13x3a23x3
那么变量t1t2到变量y1y2的线性变换应为


y1y1
a11a21
b11t1b11t1
b12t2b12t2
a12b21t1b22t2a22b21t1b22t2
a13b31t1b32t2a23b31t1b32t2
即
37
f

y1y1

a11b11a12b21a13b31t1a21b11a22b21a23b31t1
a11b12a12b22a13b32t2a21b12a22b22a23b32t2
定义矩阵
的乘积为

a11a21
a12a22
a13a23

和

b11b21b31
b12b22b32

a11a21
a12a22
a13a23

b11b21b31
b12b22b32



a11b11a21b11

a12b21a22b21

a13b31a23b31
a11b12a21b12

a12b22a22b22

a13b32a23b32

按以上方式定义的乘法具有实际意义由此推广得到一般定义
设Aaijms，Bbijs
则乘法定义为
ABC
其中Ccijm
s
cijai1b1jai2b2jaisbsjaikbkjk1
ij1122m

注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行
数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数列数为后一个矩阵的列数；
乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩r