03010803010207100980902
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D





PDPA1B1A2B2A3B3PA1B1PA2B2PA3B3
PA1PB1PA2PB2PA3PB3
09080808070902540160254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0254
20解法一：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MKNK∵MNK分别为AKCD1CD的中点∵MKADNKDD1∴MK面ADD1A1，NK面ADD1A1∴面MNK面ADD1A1（Ⅱ）设F为AD的中点∵P为A1D1的中点∴MN面ADD1A1∴PFDD1
∴PF面ABCD作FHAE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AEPH从而PHF为二面角PAED的平面角。
a2aa17AFEF22a在RtAEF中，AFEF2aAE从而FHa，22AE1717a2PFDD117在RtPFH中，ta
PFHFHFH217故：二面角PAED的大小为arcta
2方法二：以D为原点，DADCDD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标
系，则Aa00Ba2a0C02a0A1a0aD100a∵EPMN分别是BCA1D1AECD1的中点∴E2a0P0aM（Ⅰ）MN
a2

a2

a3aa0N0a24
a3a024取
010，显然
面ADD1A1

MN
0，∴MN
a002
又MN面ADD1A1
∴MN面ADD1A1
∴过P作PHAE，交AE于H，取AD的中点F，则F
设Hxy0，则HPaxyaHFaxy022
又AE2a0

a2

fa2a由APAE0，及H在直线AE上，可得42x2ay04xy4a
解得x
即HFAE∴HP与HF所夹的角等于二面角PAED的大小HPHF2cosHPHF21HPHF
∴HFAE0
8a2a8a2a∴HPaHP01717r