）
1设zexysi
xy，则其全微分dz
（）
（√）
（）
（√）
（）
（√）
（）
（√）
（）
（√）
exyysi
xycosxydxexyxsi
xycosxydy．
2设fxyzxy2yz3，则f在点P0211处的梯度gradP0133．
3设L为沿抛物线y2x2从O00到B12的一段，则xdyydx2．L
4边长为a密度为b的立方体关于其任一棱的转动惯量等于2a5b．3
5曲面3x2y2z227在点（311）处的法线方程为x3y1z1．
9
11
三、计算题（每小题5分，共20分）
1．求极限limx2y2xy．xy00
f解：先求其对数的极限limxyl
x2y2．xy00
由于xyl
x2y2r2l
r20令x2y2r2r0，
所以
limxyl
x2y20，故limx2y2xy1．
xy00
xy00
2．设zzxy是由方程xyzez所确定的隐函数，求zxy．
解：方程xyzez两边对x，y求偏导数，得
1zezzxx
1zezzyy
解得zz1xyez1
zxy

y
1ez1

ezez12
zy

ezez13
。
3．设A0101，求I

A
ydxdy1x2y232

解：先对y后对x积分，得到
I
11
ydy
0dx01x2y232
1
0
1x21
1dxl
22。
x22
13
4．计算抛物线xy2axa0与x轴所围的面积
C
A
oN
x
解：曲线ACO由函数yaxxx0a表示，ONA为直线y0，于是
SD
xdyxdyxdy
ONA
ACO
0
x
a
0
1dx
a2ax
a
axxdx1a2。
2
6
f四、10分密度xyzx2y2的物体V由曲面2zx2y2与z2所围成，
求该物体关于z轴的转动惯量．
解：根据物体关于坐标轴的转动惯量的定义，得
Jzx2y2xyzdV
V
作柱面坐标变换
xrcos
T


y

r
si



zz
有JrzrV在xy坐标面上的投影为
Dxyx2y24，则V在T下的原象为
Vrzr2z20r2022
于是有
Jz
2
d
0
2
dr
0
2r2
r
4dz
2
2
2r42r2dr256。
0
2
35
五、（10分）求第二类曲面积分
x2dydzy2dzdxz2dxdy
S
其中S是球面xa2yb2zc2R2并取外侧为正向．
解：由轮换对称性知，只须计算z2dxdy，
S
由zcR2xa2yb2利用极坐标变换可得：
z2dxdy
S

cR2xa2yb2dxdy
xa2yb2R2

cR2xa2yb2dxdy
xa2yb2R2
2
R
4cd
R2r2dr8R3c
0
0
3
f最后得到x2dydzy2dzdxz2dxdy8R3abc。
S
3
六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．
1求曲线x2y2z26，zx2y2在点P0112处的切线方程和法平面方程．
解：令Fxyzx2y2z26，Gxyzzx2y2，
则两曲面在点P0112处的法向量为：
1FxP0FyPr