11
x
五、20分设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足
C2
aaaa，11111aaaaa4aaaaaS．
12341234512345
a2a3a4a5
其中S为实数且S≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
2
f2019年全国高校自主招生数学模拟试卷十二
参考答案
一、选择题每小题6分，共36分1．已知数列x
满足x
1x
－x
－1
≥2，x1a，x2b，记S
x1x2x
，则下列结论正确的是Ax100a，S1002baBx100b，S1002baCx100b，S100baDx100a，S100ba解：x1a，x2b，x3b－a，x4－a，x5－b，x6a－b，x7a，x8b，…．易知此数列循环，x
6x
，于是x100x4－a，又x1x2x3x4x5x60，故S1002b－a．选A．AECF2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得λEBFD0λ∞，记fλαλβλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则Afλ在0，∞单调增加Bfλ在0，∞单调减少Cfλ在0，1单调增加，而在1，∞单调减少Dfλ在0，∞为常数AECGCF解：作EG∥AC交BC于G，连GF，则，故GF∥BD．故∠GEFαλ，EBGBFD
A
EBFCD
∠GFEβλ，但AC⊥BD，故∠EGF90°．故fλ为常数．选D．3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有A2个B3个C4个D5个1解：设首项为a，公差为d，项数为
，则
a
－1d972，
2a
－1d2×972，即
为22×972的大于3的约数．∴⑴
972，2a972－1d2，d0，a1；d≥1时a0．有一解；⑵
97，2a96d194，d0，a97；d1，aa49；d2，a1有三解；⑶
2×97，
2×972，无解．
1，2时
3．选C4．在平面直角坐标系中，若方程mx2y22y1x－2y32表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为A0，1B1，∞C0，5D5，∞解：看成是轨迹上点到0，－1的距离与到直线x－2y30的距离的比：x2y12x－2y312－2215155．设fxx2－πx，arcsi
，βarcta
，γarcos－，arccot－，则3434AfαfβffγCfifαfβfγBfαffβfγDffαfγfβ
3
51m5，选D．m
fπ解：fx的对称轴为x，2ππππ2π3π5π易得，0αβγδ．选B．64323466．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有A0条B1条C多于1的有限条D无穷多条解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCDABCD，在c上取线段AD上一点P，r