2019年全国高校自主招生数学模拟试卷十二
命题人：南昌二中高三（01）班张阳阳
一、选择题36分1．已知数列x
满足x
1x
－x
－1
≥2，x1a，x2b，记S
x1x2x
，则下列结论正确的是Ax100a，S1002baBx100b，S1002baCx100b，S100baDx100a，S100baAECF2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得λEBFD0λ∞，记fλαλβλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所A成的角，则Afλ在0，∞单调增加EBfλ在0，∞单调减少Cfλ在0，1单调增加，而在1，∞单调减少BDfλ在0，∞为常数F3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为C972，则这样的数列共有A2个B3个C4个D5个24．在平面直角坐标系中，若方程mxy22y1x－2y32表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为A0，1B1，∞C0，5D5，∞15155．设fxx2－πx，arcsi
，βarcta
，γarcos－，arccot－，则3434AfαfβffγBfαffβfγCffαfβfγDffαfγfβ6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有A0条B1条C多于1的有限条D无穷多条二．填空题每小题9分，共54分
x－131997x－1－1，1．设x，y为实数，且满足则xy3y－11997y－11．
D

y22．过双曲线x2－1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得ABλ的直线l2恰有3条，则λ．13．已知复数z满足2z1，则z的幅角主值范围是z
4．已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，AB2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只
1
f青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．116．设alogzlogxyz1，blogxlogxyz1，clogylogxyz11，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．三、（20分）ππ设x≥y≥z≥，且xyz，求乘积cosxsi
ycosz的最大值和最小值．122
四、20分设双曲线xy1的两支为C1，C2如图，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．1求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；2设P1，1在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
y
C1OPr