x20x

0，
因此gradfp0fx1fx2fx
p0。定理21：（充分条件）设
2元函数fx1x2x
在x10x20x
0附近具有二阶连续偏导数，且x10x20x
0为zfx1x2x
的驻点。那么当二次型
gfxixjx10x20x
0ij
ij1


正定时，fx10x20x
0为极小值；当g负定时，fx10x20x
0为极大值；当g不定时，fx10x20x
0不是极值。记aijfxixjx10x20x
0，并记
2
fa11aAk21ak1
a12a22ak2
a13a23，akk
它称为f的k阶黑塞矩阵。特殊地，当
2时，有如下推论：推论1：若二元函数zfxy在点x0y0的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且fxx0y00fyx0y00，令Afxxx0y0Bfxyx0y0Cfyyx0y0，则
A0取极大值①当ACB20时，；A0取极小值
②当ACB20时，没有极值；③当ACB20时，不能确定。
第三章函数极值的若干求法
函数极值问题是数学中的一个重点问题，在讨论极值问题时，往往会遇到函数的自变量要受某些条件的限制，从而引出了极值和条件极值问题（或限制极值问题）。例如，决定一给定点x0y0z0到一曲面Gxyz0的最短距离的问题就是条件极值问题。下面31、32和33将重点探讨函数条件极值的求法。31拉格朗日乘数法求极值拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有
个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有
k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值一种最常用的方法。
求目标函数fx1x2x
在条件函数kx1x2x
0，（k12mm
）组
限制下的极值。若fx1x2x
及kx1x2x
有连续的偏导数，且雅克比矩阵
12
的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值。x1x2x

首先，构造拉格朗日函数
Lx1x2x
1mfx1x2x
kkx1x2x
，
k1
m
3
fL2x0i1
i然后，解方程组，从此方程组中解出驻点的坐标，Lr