函数和相应的限制条件来证明不等式。函数极值在物理学中的应用也是非常广泛的，比如利用函数极值来证明光的折射定律等。在生产和销售商品的过程中销售量、成本与售价是相互影响的，厂家可以运用函数极值，知道如何选择合理的销售价格才能获得最大利润。很多的数学模型都源于生活，是从一些实际问题中抽象出来的，所以，可以通过探讨函数极值的方法来分析现实生活中许多有趣的问题，如著名的数学家华罗庚就利用极值探讨过蜂房结构有关的数学问题。综上所述，我们对函数极值的求法及应用做一个比较全面的了解是相当重要的。
第二章函数极值的定义及其存在的条件
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。我们先来了解下一元函数极值的定义。定义1：设函数fx在x0的某个邻域有定义，如果对x0该邻域的所有点，都有
fxfx0，
则fx0是函数fx的一个极大值；如果对x0该邻域的所有的点，都有
fxfx0，
则fx0是函数fx的一个极小值。极大值和极小值统称为极值；极大点和极小点
1
f统称为极值点。下面重点了解多元函数极值的定义及其存在的条件。21多元函数极值的定义：定义2：设
2元函数zfx1x2x
在点p0x10x20x
0的某个邻域内有定义，如果对该邻域内任一异于p0x10x20x
0的点px1x2x
都有
fx1x2x
fx10x20x
0，
则称函数在点p0x10x20x
0有极大值fx10x20x
0；类似的，若在该邻域内任一异于p0x10x20x
0的点px1x2x
都有
fx1x2x
fx10x20x
0，
则称函数在点p0x10x20x
0有极小值fx10x20x
0。22多元函数极值存在的条件定理1：（必要条件）若
2元函数zfx1x2x
在点x10x20x
0存在偏导数，且在该点取得极值，则有fxix10x20x
00i12
。证明：因为函数zfx1x2x
在点p0x1x2x
取得极值所以固定
000
x2x
在x20x
0后所得的一元函数fx1x20x
0在点x1取得极值，于是
0
fx1x1x20x
0
同理fx2x10x2x
0
x2x20
x1x10
0，
x
x
0
0fx
x10r