0ki2mk
0Px10x20
x，进而求出函数的极值2。0
xy例1：求函数zx2y2在条件1下的极值。ab解：本题是条件极值问题，设拉格朗日函数为xyFxyx2y21ab
令
Fx2x0aFy2y0bxyab1
axby
解得

2

a2b2a2b2
故得驻点又所以故
x
ab2a2b2y2a2b2ab
FxxFyy2Fxy0
d2Fxy2dx2dy20
x0
ab2a2by02是极小值点a2b2ab2zx02y02a2b2a2b2
极小值
32柯西不等式法求极值柯西不等式是由法国数学家柯西（Cauchy）研究得到的一个非常重要的不等式，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。某些函数的极值可以转化为柯西不等式的形式求解。柯西不等式：对于任意的实数a1a2a
和b1b2b
，总有
a1b1a2b2a
b
2a12a22a
2b12b22b
2，
简述为“积和方不大于方和积”，aiR，iR，当且仅当实数a1a2a
与b
4
f3b1b2b
对应成比例时，等号成立。由此，得到两个重要结论：
（1）若a1x1a2x2a
x
S，则
22b1x12b2x2b
x

S2
2a2a12a2
b1b2b

22（2）若b1x12b2x2b
x
T，则
2a2a12a2
Tb1b2b

a1x1a2x2a
x
4（其中biRi12
）。
在使用时，往往要采取一些方法，如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
149例2：设xyz0且xyz1求u的最小值。xyz
解由柯西不等式可得
u
149149xyzxyzxyz
2
149xyzxyz
12336
2
由x2
y2z2及xyz149
111可得xyz，632
此时umi
36本题通过巧用“1”构造出了符合柯西不等式的形式及条件，继而达到解题目的。33梯度法求极值梯度法每次迭代都是沿迭代点函数值下降最快的方向搜索，所以梯度法又名最速下降法，是无约束优化方法中最基本的方法之一。用梯度法求目标函数fx1x2x
在条件函数ix1x2x
0，
ir