22a3
2
2a
1
12
相减得:2
1
a
12
a
13
2
当
1
时,
a1
12
a
13
(2)b
2
为奇数
为偶数
①当
为奇数时,S
1223242
1
1
1
1
4142
2
2
14
22
142
11
4
3
②当
为偶数时,S
122324
12
1
1
4142
2
214
242
143
9
2分3分4分5分6分
7分
10分11分
14分15分
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21.本题满分15分
解:(1)
SPF1F2
12c2
22
2,c2,
又点P2
2
在椭圆C
上,
4a2
2a2
4
1,
即a410a2160,解得a28,或a22(舍)
…2分…3分…4分
又a2b24,b24,
所以椭圆C的方程为x2y21;84
…5分
(2)A220,F120,F220,方法一:当直线EF的斜率不存在时,E,F为短轴的两个端点,则M02,N02,F1MF1N,F2MF2N,
则以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2,
…7分
当EF的斜率存在且不为零时,设直线EF的方程为ykxk0,
设点Ex0y0(不妨设x00),则点Fx0y0,
ykx
由
x2
8
y24
,消去
1
y得x2
1
82k
2
,所以x0
2212k2
,
y0
22k,
12k2
所以直线AE的方程为y
k
x22,
112k2
…9分
因为直线AE与y轴交于点M,令x0得y22k,112k2
即点M022k,同理可得点N022k,…10分
112k2
112k2
F1M
22k2
112k2
F1N
22k2
112k2
,F1M
F1N
0,
10
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F1MF1N,同理F2MF2N,
则以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2,
…11分
当EF的斜率存在且不为零时,
22k
22k
2
MN
112k2112k2
2k12k2
k2
2
2
1k2
2
4
,
△
F1MN
面积为
12
OF1
MN
4
,
…13分
又当直线
EF
的斜率不存在时,
MN
4
,△
F1MN
面积为
12
OF1
MN
4
,
△F1MN面积的取值范围是4.
…15分
方法二:当E,F不为短轴的两个端点时,设Ex0y0x00x022,
则Fx0y0,由点E在椭圆C上,x022y028,
…6分
所以直线AE的方程为yy0x22,令x0得y22y0,
x0r