第6讲正弦定理和余弦定理【2013年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理abc1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：si
Asi
Bsi
C1a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；abc3si
A＝，si
B＝，si
C＝等形式，以解决不同的三角形问题．2R2R2R2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2为：cosA＝，cosB＝，cosC＝2bc2ac2ab111abc13．S△ABC＝absi
C＝bcsi
A＝acsi
B＝＝a＋b＋c是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的rR2224R2半径，并可由此计算R，r4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式解的个数a＜bsi
Aa＝bsi
Absi
A＜a＜ba≥ba＞ba≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
f一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsi
A＞si
B两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边，求其它边或角；2已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况2中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角求第三边和其他两角；2已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换．双基自测1．人教A版教材习题改编在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于．A．52106C3解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，ac由正弦定理得：＝，si
Asi
C即10c106＝∴c＝33222B．102D．56
答案Csi
AcosB2．在△ABC中，若＝，则B的值为．abA．30°B．45°C．60°D．90°
解析由正弦定理知：si
AcosB＝，∴si
B＝cosB，∴B＝45°si
Asi
B答案B3．2011郑州联考在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于．A．30°B．45°C．60°
222
D．75°
b＋c－a1＋4－31解析由余弦定理得：cosA＝＝＝，2bc2×1×22∵0＜A＜π，∴A＝60°答案C14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosCr